小船以最短時間與以最短位移過河不同情況具體解決方法

小船過河問題，是考察運動的分解與核心的一類重要的考題

其中比較有代表性的兩個問題

第一個：以最短的時間過河

第二個：以最短的位移過河

兩種不同過河情景具體解決方法

v₁(船在靜水中的速度)、v₂(水流速度)、v(船的實際速度)

1、過河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短

2、過河位移最短

（1）v₂<v_1：合速度垂直於河岸時，位移最短

船頭指向上游與河岸夾角為α

（2）v₂>v

₁：合速度不可能垂直於河岸，無法垂直渡河。

確定方法如下：以v₂矢量末端為圓心，以v₁矢量的大小為半徑畫弧，從v₂矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時航程最短

舉例分析

【題目】一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度v₁＝2.5 m/s。若船在靜水中的速度為v₂

＝5 m/s，求：

(1)欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什麼方向？用多長時間？位移是多少？

(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什麼方向？用多長時間？位移是多少？

【分析】(1)欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向。當船頭垂直河岸時，如圖所示。

合速度為傾斜方向，垂直分速度為v2＝5 m/s。

(2)欲使船渡河航程最短，應垂直河岸渡河，船頭應朝上游與垂直河岸方向成某一夾角α，如圖所示，

有v₂sin α＝v₁，

得α＝30°

所以當船頭向上遊偏30°時航程最短。

【追問】在上一個問題中，若船在靜水中的速度v2=1.5 m/s，其他條件不變，要使船渡河的航程最短，船頭應朝什麼方向？用多長時間？位移是多少？

【分析】若v2=1.5 m/s，因為船速小於水速，所以船一定向下游漂移，設合速度方向與河岸下游方向夾角為β，則航程

欲使航程最短，需β最大，如圖丙所示，由出發點A作出v1矢量，以v1矢量末端為圓心，v2大小為半徑作圓，A點與圓周上某點的連線即為合速度方向，欲使v合′與水平方向夾角最大，應使v合′與圓相切，即v合′⊥v2

解得β=37°

所以船頭向上遊偏37°

v合′=v1cos37°=2 m/s，x1=v合′·t1=300 m

核心要點：

(1)解決這類問題的關鍵是:正確區分分運動和合運動,船的航行方向也就是船頭指向，是分運動.船的運動方向也就是船的實際運動方向，是合運動,一般情況下與船頭指向不一致.

(2)運動分解的基本方法,按實際效果分解,一般用平行四邊形定則按水流方向和船頭指向分解.

(3)渡河時間只與垂直河岸的船的分速度有關，與水流速度無關.

(4)求最短渡河位移時,根據船速v船與水流速度v水的情況用三角形法則求極限的方法處理.

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一個不太出名但是又有點理想的物理老師

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