課堂練習題
今天信號與系統課堂上，通過網絡課堂和同學們討論了一個來自於鄭君裡教授在其《教與寫的記憶》書中記載的他當年在課堂上與同學們討論的問題。這個問題就是如何設計一個電路系統，由對稱方波（佔空比為50%的方波）作為輸入，產生一個頻率為對稱方波兩倍頻的正弦波。
現在課程講完了第三章，信號的頻譜分析（傅里葉變換），鄭君裡教授的這個課堂討論題目比較適合來闡述信號的波形與頻譜的關係、線性是不變系統的特性、系統的頻率特性等問題。
課堂討論問題
題目中的“坑”
鄭老師當年是面對電子工程系的同學來出的這道題目。大部分的同學在模擬電路、電路原理、高頻電子線路課程中學習過選頻放大電路。使用它可以將蘊含在信號中的某個單頻信號進行放大輸出。
比如對於一個週期信號，它的交流分量包括有基波以及各階高次諧波，就可以使用選頻電路來獲得週期信號中特定的高次諧波的正弦信號。這也是通訊電路中常見到的電路設計。
選頻放大電路
當然。在這個問題中，鄭君裡教授是預先埋伏了一個“坑”：那就是對於一個對稱方波週期信號，它具有特殊的“奇諧對稱”特性，它的諧波中只包含有奇次諧波，也就是隻有1,3,5,7,.....次諧波，所以直接使用前面的選頻放大電路對方波信號進行選頻放大是無法產生對應的二倍頻正弦信號的。
因此，在設計的電路中需要具有一個電路環節，能夠從方波信號中產生原本不存在的二次諧波。這種能夠“無中生有”產生新的頻率的電路不能夠是“線性時不變”系統。因為線性時不變系統的輸出信號中無法產生與輸入信號不同頻率的信號。
幾種解決方案
經過鄭老師的提醒，班上的同學也紛紛給出了不同思路的解決方案。
課堂討論部分學生方案
這些方案可以分為三大類：第一大類： 先通過選頻電路獲得信號的基頻正弦信號，然後在通過整流（半波整流、全波整流）電路、平方電路形成帶有二次諧波的週期信號，最後在通過選頻電路獲得二倍頻正弦信號；
第二大類： 通過對普通的RC微分電路和積分電路的改造，比如在電阻R上增加非線性的二極管器件，或者對輸出的信號進行二極管全波整流等，來產出非“奇諧對稱”的信號，然後在使用選頻電路獲得二倍頻正弦信號；
第三大類： 直接使用數字信號電路，比如單穩態觸發電路、脈衝延遲電路、異或電路等，產生二倍頻的脈衝信號，或者非奇諧對稱的脈衝信號，然後在通過選頻電路獲得二倍頻正弦信號。
今天課程中學生給出的部分答案
今天在課堂上，自動化系的同學們紛紛給出了自己的設計方案草圖，其中有正確的，也有錯誤的，下面逐一分析一下：
答案1：延遲異或電路
答案1
這個電路屬於前面第三類方案。其中的延遲電路屬於線性電路，異或部分屬於非線性電路，新的頻率也由此產生。根據我的要求，同學沒有繼續將後級的選頻放大電路給出。
答案2：非線性RC-D電路
答案2
這個屬於前面第二類解決方案。這個方案沒有在電阻R上並聯非線性器件二極管，而是在電容上並聯，這同樣也能夠輸出非奇諧對稱的波形。如果大家感興趣可以繪製出該電路在佔空比為50%的方波驅動下的輸出波形。
後期通過選頻電路便可以獲得二倍頻的正弦信號了。
答案3：RC微分+整流
答案3
這個方案也屬於前面第二大類的方案。
這裡面有一個特別的地方，即不能夠直接在原來的方波信號上進行整流。在原題中所給的方波是0~5V的方波，如果直接全波整流，所獲得的仍然是對稱的方波信號。因此這裡的RC微分電路是需要的。
答案4：平方電路
答案4
這個答案屬於前面第一大類方案。同學答案中並沒有繪製出平方電路的實現。
實際上，對基頻正弦波進行平方運算，根據三角函數恆等式，在輸出的結果中就包含有一個直流分量和一個二倍頻的正弦信號了，所以最後只需要在添加一個RC隔直電路便可以輸出所需要的二倍頻正弦信號。
答案5：奇怪的二極管電路
答案5
這個方案就顯得比較奇怪了。如果課堂時間允許，我可能會請提供這個答案的同學通過視頻給大家把它的想法的細節講清楚。
在他的電路中，方波信號通過一對極性相反的並聯二極管之後再去微分，由於給定的方波是0~5V的信號，所以前面的並聯二極管電路實際上對信號不起作用。所以最終的信號是對方波取微分。
但微分電路是線性定常電路，並不能夠改變輸入信號的頻率分量，所以這個電路存在缺陷。
當然，如果他的電路中的二極管是作用在RC微分電路中的電阻或者電容上，情況就變成了前面第三類答案了。
答案6：T觸發器
答案6
通過T觸發器完成對輸入信號的二分頻。輸出頻率為原來方波頻率一半的方波信號。輸出的信號也是嚴格的佔空比為50% 的方波信號，其中只包括基波的奇次諧波，所以這個電路中也沒有原來信號的二倍頻信號。
答案7：對基頻進行半波整流
答案7
這個答案屬於前面第一大類方案，方案是正確的。
答案8：二階RC電路
答案8
其中文字描述了改變方波的佔空比，然後在通過一個二階的RC低通濾波器來獲得信號中低頻諧波信號。這個方案中存在兩個問題：
- 只是通過文字描述來改變方波的佔空比，思想是對的，將方波的佔空比調整到非50%即可改變信號的“奇諧對稱性”，但問題在於沒有給出具體的實現電路。估計該同學的數字電路課程沒有學習好；
- 使用二階RC電路只能獲得信號的低頻信號，其中應該是基波成分更大，二次諧波成分次之，所以並不是二倍頻的正弦信號。應該將RC低通濾波器修改成LC選頻放大電路。
答案9：與非電路
答案9
這個電路非常新穎，如果不做仿真，還無法立即判斷該電路的輸出U0的波形，近而判斷輸出信號中是否包含有二次諧波。
電路將原來的方波信號以及它的反向信號經過後面的RC微分，施加在後面的與非門上。如果RC的時間常數遠遠小於方波信號的週期，所以在後面的與非門的輸入端大部分的情況都是高電平，所以U0大部分情況下是保持低電平。
當輸入方波的上升沿，或者下降沿來臨的時候，則會通過RC微分在後面的與非門的一個輸入端產生一個負極性脈衝，從而引起輸出產生一個正向脈衝。由於是在上升沿、下降沿都會產生一個正向脈衝，所以輸出的U0應該是兩倍頻率的脈衝信號，其中包含有二次諧波。
但這個電路的問題在於兩個RC微分電路居然共用一個電阻，這就會對抵消微分作用，使得輸出不再會產生脈衝。所以需要對電路中共用的電阻R分開，每個電容分別使用他們各自的電阻才行。
答案10：RC濾波
答案10
這個答案沒有給出具體電路，但通過C表示方波信號施加在一個電容負載上，使得信號的上升沿和下降沿變化。
但是如果僅僅是一個電容負載，方波信號的上升沿、下降沿會變得平滑，但輸出的波形仍然是奇諧對稱的。除非在電路中還存在著其它非線性環節，否則這個方案是錯誤的。
答案11：JK觸發器
答案11
實際上這個電路是將JK觸發器當做T觸發器來使用。輸出的信號應該是原來方波信號的二分頻。
好吧，如果課程允許回溯追究的話，也就是後期課程的老師可以根據學生應用前面選修課程內容的情況，反過來對原來課程學分績進行修改的話，估計這個同學了的數字電路的學分績需要降低了。當然啦，這是玩笑。
答案12：直接在原來信號的增加一個直流分量
答案12
在信號上增加直流分量當然無法改變信號的交流成分了，所以輸出的信號中自然也不會包含有二次諧波的成分的。
這個同學可能對奇諧對稱的概念並沒有完全理解。再分析奇諧對稱的時候，需要將原來週期信號的直流分量去除之後，再來看它的對稱性。
答案13：通過ROM改變波形
答案13
這個方案希望通過ROM來改變輸入信號的波形。思路是很好的，但是方波信號只能是一個地址位，怎麼來產生相應的ROM訪問地址呢？
這個方案之前還需要有一個計數器，來產生ROM的訪問地址，然後在ROM的輸出中可以設置任意序列方波信號了。所以這個設計不完整。
答案14：三進制計數器
答案14
這個答案只是給了三進制計數器的概念，並沒有給出計數器輸出信號的波形是什麼樣的？如果理解是佔空比為1/3，頻率為原來頻率1/3的方波信號的話，在這個信號的諧波中，會具有6倍頻嗎？
結果令人遺憾，佔空比為1/3的方波信號沒有6次諧波！具體原因請同學們回憶一下課上我們針對方波信號的波形（寬度、週期）與諧波之間的關係的分析上。
答案15：JK觸發器+RC濾波
答案15
這個問題前面分析過，輸出信號中不包含二次諧波。
除非這個電路中應用到了JK觸發器IC電路輸出特性的非線性，否則是錯誤的。
答案16：T觸發器+與非門
答案16
這個電路是將原來的方波電路與它的二分頻信號進行與非操作，可以獲得一個佔空比為1/4的方波信號，該方波信號的頻率是原來方波信號的一半。
為了獲得原來方波信號的二倍頻，所以需要從佔空比為1/4的方波信號中獲得它的4倍頻諧波。
很可惜！佔空比為1/4的方波信號不包含四次諧波以及四次諧波的整數倍的諧波頻率。為什麼？回憶一下上節課的討論。所以這個電路方案也是錯誤的。
答案17：二極管整流
答案17
首先原來題目給定的信號是一個0~5V的信號，經過二極管之後作用在電阻上，應該輸出的信號波形與原來的方波是一模一樣的。
即使原來的方波信號不包含直流分量，那麼經過半波整流之後，所獲得的仍然是一個佔空比為50%的方波信號。所以這個電路也是錯誤的。
答案18：增加一個直流偏置
答案18
這個方案前面分析過。只是增加信號的直流分量無法改變信號的交流分量，所以該電路也無法產生二倍頻信號。
答案19：延遲+異或
答案19
這個方案是正確的。理由前面分析過。
答案20：RLC電路
答案20
RLC組成的線性電路是無法產生輸入信號的而被聘的。這個方案是錯誤的。
答案21：選頻+平方電路
答案21
這個電路屬於第一類方案，是正確的。
很可惜，自動化系的同學學習完模擬電路之後，對於選頻電路、平方電路還無法給出具體的結構。但是在當今的時代，大部分的電路設計都是通過專用的IC來實現了。現在的同學不掌握這些具體的電路，對於將來的工程實踐不會造成太大的影響，誰讓他們處在這個時代呢。
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