“一線三等角”是一個常見的相似模型,指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形,
這個角可以是直角,也可以是銳角或鈍角。主要是一線三直角,幾乎是每年必考的壓軸題。
一、“一線三等角”的起源
DE 繞 A 點旋轉,從外到內,從一般位置到特殊位置.
二、“一線三等角”基本類型
1.同側型
2.穿越型
三、“一線三等角”的性質
1、一般情況下,如圖 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE.
2、 中點型“一線三等角”
當∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中點時,△BDE∽△CFD∽△DFE.
3、 “中點型一線三等角“的變式
當∠1=∠2 且∠BOC = 90° + ∠BAC 時,點 O 是△ABC 的內心.可以考慮構造“一線三等角”.
4、“中點型一線三等角”通常與三角形的內心或旁心相關, ∠BOC=90°+∠BAC,則O 是三角形內心。如果延長 BE 與 CF,交於點 P,則點 D 是△PEF 的旁心.
5. “一線三等角”的各種變式
四、“一線三等角”的應用
1. “一線三等角”應用的三種情況.
a. 圖形中已經存在“一線三等角”,直接應用模型解題;
b. 圖形中存在“一線二等角”,不上“一等角”構造模型解題;
c.圖形中只有直線上一個角,不上“二等角”構造模型解題.
體會:感覺最後一種情況出現比較多,尤其是壓軸題中,經常會有一個特殊角或指導該角的三角函數值時, 我經常構造“一線三等角”來解題.
2. 在定邊對定角問題中,構造一線三等角是基本手段,尤其是直角座標系中的張角問題,在 x 軸或 y 軸(也可以是平行於 x 軸或 y 軸的直線)上構造一線三等角解決問題更是重要的手段.
3. 構造一線三等角的步驟:找角、定線、構相似
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