今天來給大家分享存在性問題之等腰三角形的存在性問題方法講解。

等腰三角形的存在性問題

模型講解

要注意“AB=AC”與“△ABC是等腰三角形”的區別.

前者不僅表明△ABC是等腰三角形，而且還明確了等腰三角形中的腰和底，後者並未明確等腰三角形的腰和底，所以在已知條件中，若無相應圖形條件的補充，“△ABC是等腰三角形”應分三種情況來分析：AB=AC,AB=BC,AC=BC.

一般情況下，此類問題中，△ABC中的其中兩個頂點是可以明確其位置（座標）的，不妨設為點A、點B,則AB的長度為定長，第三個頂點C可以這樣確定(示意圖如下)：

• 若AB=AC,則點C在以A為圓心、AB長為半徑的圓上（A、B、C三點不共線）；
• 若BA=BC,則點C在以B為圓心、AB長為半徑的圓上（A、B、C三點不共線）；
• 若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線上（點C不在線段AB上）.

當然，點C還受到已知條件的其他約束，如已知點C在某一條確定的直線上，則該直線與上述作圖軌跡的交點即為符合條件的點C的位置.

示意圖

在平面直角座標系中，已知點A、點B的座標，點C在某一確定直線上，若以點A、點B、點C為頂點的三角形是等腰三角形，則還可利用勾股定理，把AB、AC、BC表示出來，按照AB=AC或AB=BC或AC=BC建立相應方程求解.

例題

如圖1,在平面直角座標系xOy中，點A的座標為(m,m)，點B的座標為(n,-n),拋物線經過A、O、B三點，連接OA、QB、AB,線段AB交y軸於點C.巳知實數m、n,(m

(1) 求拋物線的解析式；

(2) 若點P為線段OB上的一個動點，連接PC.當△OPC為等腰三角形時，求點P的座標.

圖1

例題思路

(1) 通過方程可確定A,B兩點的座標，進而利用待定係數法求出二次函數解析式.

(2) 首先求出AB的直線解析式，以及BO的直線解析式.若△OPC是等腰三角形時,有以下三種可能：OC=OP或OC=PC或OP=PC.利用等腰三角形的性質可分別求出三種情況下x的值。

例題詳解

(1)解方程x²-2x-3=0,得 x1=3,x2= -1.

因為m

因為拋物線過原點，設拋物線的解析式為y=ax²+bx.

所以-1=a-b,-3=9a+3b,解得a= -1/2,b=1/2.

所以拋物線的解析式為y= -1/2*x²+1/2*x.

(2)設直線AB的解析式為y=kx+b.

所以 -1= -k+b,-3=3k+b,解得k= -1/2,b= -3/2.

所以直線AB的解析式為y= -1/2*x -3/2.所以C點座標為(0, -3/2).

因為直線OB過點O(0,0)、B(3, -3)，所以直線OB的解析式為y= -x..

因為△OPC為等腰三角形，所以 OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC.

設 P(x, -x).

(i) 當 OC=OP 時,x²+(-x)² = 9/4.

解得x1=(四分之三倍根號二),x1= - (四分之三倍根號二)(捨去).

所以P1 (四分之三倍根號二，負的四分之三倍根號二).

(ii) 當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上,

所以P2(3/4,- 3/4).

(iii) 當 OC=PC 時，由x²+(-x+3/2)² = 9/4,

解得x1=3,x2=0(捨去).所以P3(3/2，-3/2).

所以P點座標為(四分之三倍根號二，負的四分之三倍根號二)或(3/4,- 3/4)或(3/2，-3/2).

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