有理數概念的來歷
"有理數"這一名稱不免叫人費解,而有理數並不比別的數更"有道理"。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。"有理數"一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是"理性的"。中國在近代翻譯西方科學著作時,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了"有理數"。但是,這個詞來源於古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這裡的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很明顯,就是整數的"比"。與之相對,"無理數"就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而並非沒有道理。
萬物皆數
關於有理數的概念,最早提出的是古希臘數學家畢達哥拉斯,畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本原,他們把數(有理數)與幾何量加以等同,即所有的幾何量:長度、面積、體積、長度比、面積畢、體積畢等均可由整數或整數比來表示。這是由直觀產生的必然現象,乍看之下是不證自明的道理。畢達哥拉斯把這些看法綜合為:"宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比"。(當然,這種歷史的侷限性被他的弟子推翻了,後續分享一篇由根號2引發的血案)
有理數概念
現在對有理數的認識是,有理數為和的統稱。正整數和合稱為,負整數和合稱為。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和。
由於任何一個整數或分數都可以化為十進制,反之,每一個十進制循環小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進制循環小數。故通過有理數的定義可知,任何有理數都能表達成分數的形式,如:
整數:4=4/1
小數:0.5=1/2
有限循環小數:0.333333……=1/3
那麼0.73737373……是有理數碼?答案是肯定的,那麼哪一個分數跟它相等呢?這裡介紹一下無限循環小數如何化成分數。
我們知道分數1/3可以寫為小數形式,即0.3的循環,反過來,無限循環小數0.3333……可以寫為分數形式,即1/3.
無限循環小數化分數
無限循環小數化為分數,有一套簡單的公式,學會這種方法可以使其輕鬆表示出來。
(1)循環節:0.33333……,循環節為3。
(2)公式:這個公式必須將循環節的開頭放在。若不是可將原數乘10^x(x為正整數),例如0.2135353535……,循環節為35,但這個數的循環節的開頭不在十分位,此時給它乘以100,變成21.353535……
舉個例子:0.3333……=?
設x=0.3333……①
10x=3.3333……②(也可以表達成10x=3+0.3333……)
將兩表達式相減得:9x=3,從而得到x=1/3
再舉個例子:0.2135353535……=?
設x=0.2135353535……①
100x=21.3535353535……②(也可以表達成100x=21+0.353535……)
10000x=2135.35353535……③(也可以表達成10000x=2135+0.353535……)
用③-②得:9900x=2135-21,從而得x=2114/9900=1057/4950
其他類型的無限循環小數轉化分數的的方法類似
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