編者按：湖南師範大學第二附屬中學的劉仲喜老師，看了開亮老師的初稿之後，專門寫了一篇反饋文章，分享了他作為一個一線教師的思考與見解。兩篇文章一起來讀，會更立體，因此我們這裡一併推出。也歡迎廣大讀者發聲，或留言或投稿（郵箱：[email protected]）。
作者 | 劉仲喜 (湖南師範大學第二附屬中學，中學數學教師)
林教授好：
因為機緣甚巧而能經常讀到教授的文章，亦可謂人生一大幸事！教授將昨日新作發送於我，我一邊吃飯一邊閱讀，讀完自是一番欣喜。我一向以為閱讀而不交流看法似乎不合情禮，故仔細閱讀再三，嘗試得一二想法與君互動。
教授對小魚老師《到底什麼是數學思維》一文提出的批評意見，可謂是一篇切中時弊的檄文，中小學老師與教授寫文章的認知差異纖毫畢現！相信有很多的小魚老師那樣的作者閱讀後都會虛汗直冒。這就好比走江湖的好漢舞槍弄棒用花拳繡腿來忽悠看客，而建門立派的武林宗師追求武學至理，一招一式都需講究，境界當然不一樣。而字裡行間所表現出的那份對問題研究求真務實的治學態度、對數學的喜愛至真、對數學教育的關注至深，更是令人欽佩！作為一名中學數學教師，我對“到底什麼是數學思維”這樣的問題自然也特別感興趣，想就此問題談一談自己的一些不成熟的想法。
數學思維究竟是什麼，似乎還並無規範的定義。小魚老師所提出的所謂八種數學思維，我確實覺得有些不妥。正向思維、逆向思維、有序思維究竟是指思維操作的策略還是思維運行的過程？規律思維是指按照思維的某種規律解決問題，還是指探究解決問題的某種規律？每一個問題都不可能是孤立存在的，如果有，這樣的問題也沒有解決的必要。因此每一個問題都會有與之相似或相關的問題，這些問題的解決自然也會存在某些規律性，並且伴隨這問題的解決會形成規律性的認知，這樣一來是不是所有的問題的思維都似乎可以說“規律思維”？邏輯思維、整體思維、分組思維、發散思維等也是存在同樣的質疑。的確這些名詞聽起來因為標新立異而覺得高大上，總有吸人眼球之嫌。而且小魚老師將這些似是而非的概念與具體的例題一一對應，確實缺乏科學認知的嚴謹性，容易誤導讀者，也的確有必要予以指正。
事實上，與思維相關的諸多概念都存在著沒有邊界的一種認知模糊。從數學的觀點來看，一個概念的定義，就是規定了一個集合，某個元素屬於或者不屬於這個集合必須是確定的。而思維、觀念等與心和腦相關的認知，似乎是一些例外！我們在教學中經常說應用某個數學思想方法，但究竟何為思想、何為方法，也是“以其昏昏使人昭昭”。究竟“思想是方法”，還是“方法是思想”？老師叫得順口爽心，也讓學生覺得“此中有深意，欲辨已忘言”。在課堂教學中提一提倒也無妨，若是著書立說則需慎之又慎！
數學思維離不開數學概念與數學運算（廣義的數學運算應該包含數學推理，大學數學的形式邏輯以及計算機證明便是將數學推理轉化為某種運算）。數學的概念應包含概念的意義和概念的符號表徵。最初給出這個概念的定義的人需要思維，他要考慮：如何定義，採用哪種符號表徵？至於接受這個概念的人，似乎沒有多少思維的需要，也許就只需要思考我應該如何接受並理解這個概念？孤立的概念似乎也不需要太多的思維，所以數學概念還應該包含概念之間的關係。如數 1 和數 2 之間的關係，或者運算關係、從屬關係，等價關係等等。數學概念的一個基本要求，應該是能夠進行某種運算或推理。我總覺得，不能運算或推理的概念，就不能算是數學概念。如數學方法、數學思維等就不是數學概念。這些算不算數學知識，是算數學知識的應用，還是算思維認知呢？人對思維的認知還很淺薄，也許我們思考“如何進行數學思維的教育”的問題，比思考“什麼是數學思維“”的問題更有意義。
數學思維究竟是如何發生的呢？數學概念的確是數學知識的主體，也是數學思維的本體。面對一個數學問題，首先要弄清楚問題所涉及的一些數學概念，其次要弄清楚這些概念之間的關係。概念之間的關係的認知，常常就是那些經驗性的結論，如運算公式以及公理定理等等。而解決數學問題的思維，常常就是從這些概念之間的關係切入的。就拿波利亞的《怎樣解題》來說吧，如果我們面對一個問題參照這個過程來思維操作，會發現思維並不比自由的分析更高效。而事實上，我們也極少會根據波利亞提供的範式去思維。
在任何階段（即使是大學）的數學教學中，也極少按照這個方式去展示一個思維的過程吧。就好比對於一個作家，寫作是一回事，再分析又是另一回事。完全按照文章分析的套路去寫文章，恐怕很難寫出一篇好文章來。為什們會是這樣呢？其實波利亞提出的解決問題的策略，是假設解題者對問題所涉及的概念間的關係很大一部分並不知悉，需要先探索出這些概念間的關係。而在大多數情況下，解題者對所解決的問題涉及的概念以及概念間的關係，大部分都是已經知悉，只需要將問題情境與概念以及概念之間的關係進行比較對應，就可以求解了。所以，解題者很多時候並不需要按照波利亞的模式全程操作了。
如此說來，根據解題者對問題的認知情況，至少有這麼兩種不同的情形：對所涉及的概念或概念之間的關係是清晰的；對所涉及的概念或概念之間關係是不清晰的（至少是不完全清晰）。如果解題者對問題的概念或概念的關係完全不知，這個問題對解題者是不可解的，當然也不在討論範圍之內了。如果解題者對概念及概念間的關係是清晰的，那麼他的數學思維就是演繹推理，只要不出現失誤，那麼他會正確地解決問題。如果解題者對概念或概念間的關係是不清晰的，那麼他的數學思維就會是合情推理，他需要靠一些猜想來彌補概念以及概念間的關係，就是預先假設某個他需要的結論（大前提）是正確的。也就是說，數學思維的基本形式是按三段論這樣的模式進行的：
大前提：M 的元素都有性質 P。
小前提：S 是 M 的子集。
結論：S 的所有元素都有性質 P 。
演繹推理是在大前提是正確的情形下進行的數學思維，而合情推理是在猜想的某大前提似真的情形下進行的數學思維。那麼要判斷他解決問題是否正確，需要從三個角度來進行判斷：（1）他用的大前提是什麼？大前提是否正確？（2）他的小前提是什麼？小前提與大前提的對應是否正確？（3）他運用三段論的格式是否正確？
然而數學思維真正的發生卻要複雜得多，這也正是數學思維的魅力與趣味所在。接下來我們再舉文中的兩個例題，具體來看看數學思維究竟是如何發生的呢？
例 16 個同樣的蘋果（球）放入 3 個同樣的筐（袋子）裡，有多少種不同的放法？
姑且不從嚴謹的哲學角度辨析有沒有完全相同的兩個事物，就算是為了描述的簡潔而設定的理想題境。學了組合數學的人當然就會採用模型思維，也就是運用演繹推理直接解決問題。而沒有學過組合數學的人就只能自然地思維，也許這才是我們感興趣的：面對一個問題，元思維會是怎樣發生的？當然沒有學過組合數學的，又需區分數學思維能力的大小，會有不同的思維進程和效果。
可能會開始畫圖來嘗試紙上談兵式的過程模擬，也可能會先從簡單的情形來探求，然後會想到要根據框裡裝的蘋果數進行分類計算等等。再高明一點會想到將問題一般化，猜想有一個解決此類問題的公式，或者根據解決問題的經驗抽象概括得到這個公式，這即是數學的發現與創造。
這也是數學思維的兩種途徑：由一般到特殊；由特殊到一般。那麼再來看看老師的教學會怎麼樣呢？不管老師以何種方式教學生怎樣解題，都只是將自己的思維方法展示給學生，卻自始至終沒有、似乎也不能將數學思維教給學生！學生只能當做知識接受，再依葫蘆畫瓢解決類似的問題。因此，不同的學生只在模仿與對應的效率上存在差異，而沒有思維上的差異。由此看來，真正的思維竟然只是學生自己在沒有老師的教學之下才能發生的。
例 2111.......1 這個千位數除以 7 的餘數
當我拿到這個題目會想到先嚐試一下除法運算，看看會有沒有什麼發。當除到 111111 時發現餘數為 0，可能會停下來思維：能否運用這個發現幫助解決問題？或者除到 1111111 發現餘數為 1，能不能有助於解決問題？因為根據經驗直覺，0 和 1 是比較特殊的數，與其他的數相比，有一些特殊的性質結論。再分析與本題的“求餘”的概念之間的關係，這個問題的解題思路基本上就可以形成了。從找到思路到問題的完全解決，其實還會有很長的一段距離，很多時候甚至還難免會“折戟沉沙鐵未銷”。
不經過一番艱辛的推理演算，常常難以得到教授文中給出的那樣完美的解答。那還有沒有其他的思路方向呢？根據題意要求，進而想到需要探究除以 7 的餘數規律，自然又是“眾裡尋他千百度”，“別有一番滋味在心頭”。顯然，不可能所有的規律都能夠獨立探求出來，因此去查找相關的資料也是一個不錯的解決辦法。這實際上就是要去尋找一個支撐解決問題的大前提，這也只能抱著試試運氣的想法。譬如，現在就找到了這麼一個結論（非常幸運，現代網絡技術會使人的這種運氣越來越好）：
定理（關於 7 的整除性規律）設某整數的十進制表示：
則它能被 7 整除，當且僅當表達式：
能被 7 整除。
看到這個結論，在感到欣喜的同時，也會讓人感到高深莫測！數學之所以令人生畏，就在於一般人真看不出得到這些結論的自然邏輯是什麼？數學思維，在他們看來其實是特別不自然的。而且，即使有了相關的數學知識，讓你去解決相應的問題，似乎也並不是很容易實現這一數學思維。很多情形下，結論本身並不會指導你直接去解決某個問題，還需要對數學知識進行某種領悟。譬如看到這個結論後，可能會由表達式的結構特徵領悟到，將那個千位數每六個數字視為一組，這時才感到思維豁然開朗。
解決了問題之後，可能還是覺得有些遺憾，這樣的解法有一點碰運氣的感覺。自己如何才能得到這樣的結論呢，得出這個結論的原本思維又是如何發生的呢？我覺得唯有如此，才是真正接觸到數學思維的本質了。知道了結論再去解決問題，有時會感到自己只不過是在進行簡單的模仿與對應。當然，從另一個角度來說，這也應該是真正的數學思維，因為這便是數學邏輯推理的基本形式——三段論：大前提，小前提，結論。因此數學思維的另一個基本特徵，是要能夠揭示問題的本質，這也似乎是出自人的某種理想情結，希望能夠從或然世界走入必然王國。
同時又因為有了數學知識，我們就會有了先入為主的意識，反而制約了我們本來靈動的思維！人似乎總是很矛盾的生活著，渴望在必然王國裡至高無上地主宰決定一切，又留念或然世界裡自由自在的幸運機遇。
小魚老師後面的一些例題，的確也談不上有多少真正數學思維的價值。其實我這麼說的時候，是感到底氣不足的。我也並不知道自己是根據什麼來判斷所謂“有沒有數學思維價值”的。反正就是覺得，這麼說能夠表達自己的觀念吧！
數學教育的最大困境，就在於我們把握不定該重點教什麼。是應該重點教數學知識、讓學生對應練習解題，還是應該重點教數學思維過程？前者是應試教育追求達到的數學教學效果，後者是素質教育希望達成的數學教育理想。理想與現實之間的拔河，結局更多是現實主義戰勝理想主義：我們只能選擇重點教數學知識然後讓學生進行對應練習解題。
然而更可怕的是，我們可能根本就沒有選擇的權利。最後發現，只能教給學生我們已有的數學知識，根本無法教給學生真實的數學思維。我們的數學教學，只是在一個封閉的數學空間裡，將一些概念以及我們熟知的概念間的關係反覆枯燥地演繹推理。這些足以讓一些人產生莫名的焦慮，幾乎所有的教學改革都試圖突破這個封閉的空間，卻一直沒有達到理想的教育。如果我們真能教學生數學思維，每個數學老師都將是高斯、歐拉似的人物，每個學生也都會成為高斯、歐拉似的人物！也許這就是每一個數學教育者最初的夢！
2020年3月6日
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