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利用矩形性質求滿足等腰三角形條件的動點個數是初二數學的重要題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。

例題

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形點P有且只有3個，求AB的長。

解題過程：

根據矩形的性質和題目中的條件：四邊形ABCD為矩形，則AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠ADC=∠B=∠C=90°；

1、AD=AB

根據題目中的條件和結論：AD=BC，AB=CD，AD=AB，則AB=BC=CD=AD；

當PB=BC時

根據結論：AB=BC，PB=BC，則點P與點A重合；

當PC=BC時

根據結論：BC=CD，PC=BC，則點P與點D重合；

當PB=PC時

根據全等三角形的判定：∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，PB=PC，則Rt△PAB≌Rt△PDC；

根據全等三角形的性質和結論：Rt△PAB≌Rt△PDC，則PA=PD，即點P是AD的中點；

所以，當AB=AD=4時，滿足△PBC是等腰三角形點P有且只有3個。

2、AD

根據結論：ADAD，PC>AD；

根據結論：AD=BC，PB>AD，PC>AD，則PB>BC，PC>BC，即不存在滿足PB=BC或PC=BC的等腰三角形△PBC；

當PB=PC時，點P是AD的中點；

所以，當AD

3、AD>AB

PB=BC時存在兩種情況點P1、P2，PC=BC上存在兩種情況點P3、P4，當P2與P4重合時，P2B=BC=P4C，此時滿足△PBC是等腰三角形點P有且只有3個；

根據結論：P2B=BC=P4C，則△PBC是等邊三角形；

根據等邊三角形的性質和結論：△PBC是等邊三角形，則∠P2BC=60°；

根據結論：∠ABC=90°，∠P2BC=60°，則∠ABP2=30°；

根據直角三角形的性質和結論：∠BAD=90°，∠ABP2=30°，則BP2=2AP2；

根據結論：點P是AD的中點，AD=4，則AP2=2；

根據結論：BP2=2AP2，AP2=2，則BP2=4；

根據勾股定理和結論：∠BAD=90°，AP2=2，BP2=4，則AB=2√3；

所以，當AB=2√3時，滿足△PBC是等腰三角形點P有且只有3個。

綜上，當AB=4或2√3時，滿足△PBC是等腰三角形點P有且只有3個。

​結語

解決本題的關鍵是根據矩形兩組邊長之間的數量關係，判斷滿足等腰三角形條件的不同情況下的線段長度。

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關鍵字: 數學 矩形 等腰三角