我被學生提問難住了——幾何填空壓軸題思路探索
作為數學老師，解題是家常便飯，而遇到一時解不出來的題也並不少見，於是，分析自己解題思路受阻於何處，如何突破，進而領悟如何去引導學生。當然，被學生所提問題當場問住，的確也有些難堪，不過面子不重要，既然遇到困難，和學生一起思考，在這個過程中，其實也是教育學生，老師也會遇到一時想不出來的難題，此時示範給學生，如何才是面對困難不放棄。
題目
點P是△ABC內一點，∠PBC=30°，∠PBA=8°，且∠PAB=∠PAC=22°，則∠APC=_________°.
我的探索一：
將所有能求的角全都求出來，△ABC中，∠ABC=38°，∠ACB=98°，∠BAC=44°，進一步求得∠APB=150°，然後嘗試尋找∠APC與這些已知角的關係，設∠APC=x，則∠ACP=158°-x，∠BCP=x-60°，∠BPC=210°-x，然後便再也找不出等量關係了，探索失敗！
我的探索二：
僅僅尋找角之間的等量關係是不夠的，需要找到新的等量關係，方程才能列出來，看到AP兩邊∠PAB=∠PAC之後，聯想到角平分線，延長試下？
繼續表示新出現的角，∠DPB=30°，∠PDC=60°，∠DPC=180°-x，又無路可走了，和探索一出現的困難一樣，沒有找到新的等量關係列方程求解，探索失敗！
我的探索三：
是否需要構造全等三角形轉化角呢？利用角平分線，的確可以很方便地構造，在AB上截取AE=AC試下？
這次收穫比前兩次要大一點，圖中△APE≌△APC很容易證明，然而看上去似乎相等的BE和PE，始終沒辦法證明，探索失敗！
我的探索四：
不急，角平分線一定是突破口，於是角平分線有哪些性質？角平分線上的點到角兩邊距離相等？好，便是它，再來！
在角平分線上，不同的點都嘗試過一遍，全等三角形非常容易找到，可是問題依舊沒解決，看來僅僅依靠角平分線性質構造出的全等三角形，並不足以找到新的等量關係，探索失敗！
我的探索五：
陷入沉思後，回顧剛剛的探索過程，失敗了四次，並不是一點作用都沒有，至少基本方向確定了，角平分線一定能構造全等三角形，如果還能構造出特殊三角形，就能找到新的等量關係了。
等等！剛剛計算出的角度中，含有特殊角30°，60°，包含這種度數的三角形中，等邊三角形最特殊，而等邊三角形中，三線合一，其中一線正好就是角平分線啊！
彷彿受到啟發，在前面探索圖形基礎上，又進行了調整。
將角平分線AP延長，然後過點B作它的垂線，垂足為E，交AC延長線於點F，再連接PF。
其實和前面探索中某一個圖形很像，只是所連線段不同，這樣作輔助線的好處是，全等三角形依然非常容易找到，此時圖中的△ABF是等腰三角形，AE是BF的垂直平分線，於是可證△APB≌△APF，在Rt△ABE中，我們可求出∠ABE=68°，於是∠PBE=60°，因此△BPF是等邊三角形，設想的目的已經達到了。
繼續推導，在等邊△BPF中，BC是PF的垂直平分線，於是CP=CF，所以∠PFC=∠FPC，前面已經證明的全等三角形可求得∠PFC=∠PBA=8°，因此∠FPC=8°，而∠EPF=30°，所以∠APC=180°-30°-8°=142°.
解題反思：
原來垂直平分線才是解這道題的關鍵！回過頭來看前面失敗的四次探索，無一次構造出了垂直平分線，都在角平分線性質和全等三角形內轉圈。而學生在思考過程中，也同樣經歷了失敗，例如探索一和探索二，學生也嘗試過，因此這兩種思路我也只是簡單目測了一下，感覺不行，便沒有繼續浪費時間。然而構造全等三角形時，角平分線實在是太方便，所以就沒有繼續思考還有沒有其它特殊圖形，直到所有路都走死了，只好轉身繼續深挖條件。
失敗的探索中，並非沒有益處，至少最後想到垂直平分線，還得多謝第四次失敗，當等腰三角形三線合一條件一出現，下意識感覺思路明朗了。因此在面對角平分線條件的時候，除了角平分線本身的性質之外，還需要聯繫和它有關的定理。
當我在草稿紙上不斷嘗試推演時，學生一直在旁邊看著，不發一言，倒是我自言自語很多，最終當我抬起頭告訴學生，我解出來的時候，他臉上是崇拜和敬重，而不是我以為的嘲笑和輕蔑。
給學生講這道題，除了收穫解法之外，我想更重要的是做人的道理，正如我有困難求助於他人，而他人也在努力解決我的問題中遇到困難，我不可能在一旁嘲笑，而是要鼓勵與支持，提供力所能及的幫助，這才是正道。
閱讀更多 愛數學做數學 的文章
