嚴密性與精確性是數學最顯著的特徵，也正因為如此，數學被譽為“科學的皇后”，成為各門科學，尤其是自然科學研究的基礎工具。馬克思甚至曾經說過：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才能真正達到了完善的地步”。
那麼，是不是所有的事物都可以嚴密化和精確化呢？我們可以考慮以下幾個問題。
- 如何判斷一個人是否是“高個子”呢？
如果一個身高179cm的人站在你面前，那你來說他算不算高個子呢？對這個問題不同的人會有不同的回答。有人覺得算有人覺得不算，當然還有更多的人可能會回答：勉強算。
- 如何判斷一個男生是否是“帥哥”呢？
把吳彥祖拉過來你當然會毫不猶豫地說是，把宋小寶拉過來你當然會說不是，但是從學校裡隨便拉一個男生出來，大家的意見可能就沒法統一了。
所以我們會發現，很多問題是無法明確地用“是”和“否”來回答的。
再比如下面兩個著名的問題：
- 禿子悖論
一個人長著一頭烏黑茂密的長髮，那如果拔掉一根，從外觀上看不出有什麼變化吧。再拔掉一根，也不會有什麼變化。那就不妨再拔一根，反正頭髮很茂密嘛，再拔一根仍然還是茂密。那如果再一根一根的拔下去......總有一個時刻頭髮會被拔光變成禿子。那麼問題就是，既然茂密的頭髮拔掉一根還是茂密的頭髮，那怎麼最終還會變成禿子呢？或者更準確的問法，當我拔掉第幾根的時候，頭髮就從茂密變為不茂密了呢？你會發現這是個非常難以回答的問題。
- 沙堆悖論
沙堆悖論與禿子悖論相似：地上有一個沙堆，我取走一粒沙子，它依然還是個沙堆，再取走一粒，它還是沙堆，那如果我一粒一粒不停地往下取，總有一天會全部取光。那麼我來問你，取到第幾粒的時候，它就不再是沙堆了呢？
如果說上面兩個悖論還只是停留在純粹的思維層面，那下面這個問題就事關現實生活了。
我們國家制定了《未成年人保護法》，規定了年齡未滿18週歲的為未成年人。那如果有兩個人犯了相同的罪，一個人的確切年齡是17週年零364天零23小時59秒，另一個人是18週年0天0小時01秒。只因為出生時間相差了兩秒，而一個人需要坐牢，另一個人不需要坐牢，那這樣來看是合理的嗎？(雖然這種情況在現實生活中幾乎不會出現，但我們不妨當成一個問題來思考)
剛才提到的這幾個現象都可以稱之為模糊現象，模糊在我們生活中隨處可見，比如“高矮”，“胖瘦”，“美醜”，“冷熱”，幾乎每一個形容詞都是一個模糊現象。其實，數學家們早就注意到這類問題了，只不過苦於沒有辦法來處理。直到1965年，美國加州大學伯克利分校教授，自動控制專家L.A.扎德(L.A. Zadeh)，極具創造性地提出了一種全新的數學思想，專門來解決這一類所謂的模糊問題，由此開創了一門名為“模糊數學”的數學分支。
扎德(L.A Zadeh，1921-2017)
本文就來介紹一下模糊數學的主要思想。
1.傳統數學遭遇的困難
我們在高中都學過集合這一概念，老師肯定都曾經說過，集合是整個數學大廈的基礎。
集合中的元素需要滿足三個性質：確定性，無重複性和無序性。所謂確定性是指，你需要非常明確的知道集合中包含哪些元素。換句話說，任給你一個元素，你能夠非常明確的判斷它是屬於這個集合，還是不屬於這個集合。比如我們用N來表示全體自然數的集合，給你一個3，我知道它肯定屬於這個集合；給你一個0.5，我知道它肯定不屬於這個集合。
確定性從表面上看起來似乎沒有什麼問題，而且它是集合之所以成為集合的重要保證：你得告訴我這個集合裡包含什麼東西，才相當於告訴了我這個集合是什麼吧！但是，傳統的集合在處理模糊現象時，卻遭遇了前所未有的困難。因為我們發現，在模糊現象裡，是不能用絕對的“屬於”或“不屬於”來界定的。
比如上文提到的例子，我讓F表示中國所有高個子男人的集合，一個身高195的男人肯定屬於這個集合，一個身高160的男人肯定不屬於這個集合，但是對於一個身高179的人呢？大家的意見肯定就有分歧了。
再比如，中國所有帥哥組成的集合。吳彥祖肯定屬於這個集合，宋小寶肯定不屬於這個集合。但是你家隔壁那個大男孩，屬不屬於這個集合呢？估計你自己都很難說清楚。
這就是傳統數學所遭遇的困難，扎德為了解決這個問題，創造性地發明了“模糊集合”這個概念。
2.模糊集合
扎德是這樣考慮問題的，179cm的男人到底屬不屬於高個子男人這個集合呢？問題就出在，我們非得用絕對的“屬於”或絕對的“不屬於”來回答這個問題。我們為什麼不能回答：“大概算是吧”。對於一個身高174的人，我們為什麼不說：“大概不算吧”。因此，扎德就想用一個數來衡量這種大概的程度，稱為這個元素對這個集合的隸屬度 。隸屬度介於0~1之間，數值越大說明屬於這個集合的程度就越大。比如，195的男人 100％的算是高個子，我們就說195男人對高個子男人這個集合的隸屬度為1，179的男人隸屬度則是0.95，178的男人隸屬於度為0.91，以此類推，170的男人隸屬度可能只有0.3，而160的男人隸屬度則為0。
通過這個例子，扎德給出了模糊集合的概念：
比如上面的例子，U表示所有身高的男人組成的集合，那麼μ(195的男人)=1，μ(179的男人)=0.95，μ(170的男人)=0.3，μ(160的男人)=0，等等。
可以看出來，想表示一個模糊集合非常的繁瑣，通常情況下我們有三種表示方法：扎德表示法，序偶表示法和向量表示法。我們介紹一下其中最直觀的序偶表示法：
比如還是剛才那個高子男人那個例子，我們就可以這樣表示
再比如中國的帥哥這個模糊集合，可以寫成如下這個樣子：
當然，寫成這個樣子，我相信李易峰的女粉絲們肯定就不高興了：俺們家峰峰明明是100%的帥哥，怎麼能說只有95%呢。於是這就涉及到下一個問題，某一個元素的隸屬度是如何確定的？
3.隸屬度的確定
隸屬度的確定通常有三種辦法
- 調查統計
通俗地講就是做問卷調查，比如我去高校中隨便挑100個女同學，問她們李易峰是不是帥哥？回答中95個人說是，5個人說不是，那麼李易峰對帥哥這個集合的隸屬度就是0.95。
當然這樣做隸屬度跟你所選取的人有關，如果換另外一批100個人，可能隸屬度會發生變化，或者把人數擴大到1000人，隸屬度也會發生變化。
當然，你做抽查的人數越多，那麼就越接近於一個固定的值。而且，概率論裡面的大數定律和中心極限定理也告訴我們，抽查的人數達到無窮大時就會有一個極限值，那麼這個極限值就可以看成是可信的隸屬度。
- 指派函數
人類的科學和數學經歷了幾千年的發展，研究和完善了各種類型的函數。尤其是在統計學中我們有各種各樣現成的分佈函數，比如正態分佈函數，二項分佈函數，泊松分佈函數等等。那麼在面臨具體問題時，科學家們就會根據以往的經驗和科學研究的結果，給它指定一個現成的函數。比如科學家在研究東亞地區人們的智商時，可以指定“智力普通的人”，它的隸屬函數就是，期望為105，方差為5的正態分佈函數。
- 借用現有指標
我們在科學研究中會有各種各樣的指標，比如化學中有ph值，地質學中有地震震級，統計學中有相關係數，經濟學中有GDP等等，有的時候，這些指標本身就可以作為隸屬度。
比如經濟學中的恩格爾係數。是衡量一個家庭財政支出狀況的指標，具體的計算方法是，先指定一段時間，用這段時間家庭用來購買食物的支出，除以家庭的總支出得到的數。恩格爾係數是衡量家庭貧困程度的一個重要指標，恩格爾係數越高，家庭越貧困；反之，恩格爾係數越低，家庭越富裕。這是因為，吃飯是人類生存的第一需求，人們只有先吃飽肚子，再去考慮其他的事情。你每個月掙的錢，第一要用來吃飯，餘下的錢才會去考慮買好看的衣服，看喜歡的電影。
從計算方法可以看出恩格爾係數一定是位於0~1之間的，如果我考慮“貧困家庭”組成的集合，就不妨直接把恩格爾係數當成它的隸屬度。比如恩格爾係數是0.33的家庭，那麼它屬於貧困家庭的隸屬度就是0.33。
4.模糊數學及其發展
模糊集合的提出，徹底顛覆了人們對經典集合的認識，甚至可以模仿經典集合，定義模糊集合之間的包含關係，子集，交集，並集，特徵函數等概念。
我們知道，經典數學就是建立在經典集合之上的，而模糊集合的出現，則是可以完全改變經典數學的面貌。經典數學中的一些已有理論與方法，如果套用在模糊集合上，就形成了新的理論與方法。這些理論與方法放在一起，就是所謂的模糊數學這一門學科。
模糊數學最常用的應用有，模糊聚類分析，模糊模式識別，模糊決策，模糊線性規劃等等，應用非常廣泛，而且還在飛速發展中。可以想見，模糊數學是比傳統數學更實用的方法，因為在現實生活中，我們所接觸到的大部分其實都是模糊現象。
所以說，數學界從此一分為三：研究精確與確定現象的傳統數學，研究不確定現象的概率論，和研究模糊現象的模糊數學。
從上面的敘述中也可以看出，模糊數學其實一點都不模糊，它只是研究的對象是模糊現象而已，但是研究方法還是傳統數學的方法。給每一個對象賦予一個確定的數字，這不僅不模糊，反而是把模糊現象精確化了。這裡要多說一句，概率論也不是不確定的數學，而只是研究不確定現象的數學，它的方法也是非常確定的。
最後不得不提一下扎德老先生，是學術界德高望重的老前輩。他可謂是學界“常青樹”，出生於1921年，1965年提出模糊集合理論；1978年提出“模糊邏輯”理論，1981年提出“可能性理論”；1990年提出“軟計算”的概念；2002年提出“詞語計算”理論；2010年提出“不確定性的一般理論”。可以算一下，這個時候老先生已經90高齡了。扎德老先生於2017年去世，他這種驚人的毅力與勤奮的精神，值得我們永遠學習！
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