人類對美的追求促進了文明的發展，然而什麼是美卻是困擾人類最大的問題。無論是哲學家還是社會科學家乃至自然科學家，對美的描述都大相徑庭。當然大家還是有很多共識。比如和諧代表一種美，協調也屬於比較美的範疇。
感官（包括眼睛，味覺等）是感受美的第一道門檻。很多東西都過不了這道門坎。信息時代更是如此。美女帥哥基本都是外形漂亮。沒有了外在美，想成為一個網紅是非常難的。
然而人類最缺的卻是沁人心扉的內在美。一個能打動人心絃的東西。也就是一件能引起你共鳴，喚醒你良知，勾起你激動的事物。數學特別是群論也許是極其罕見的這樣內容之一。
大家好，今天偉崗跟大家聊聊群論，這個被很多數學教授譽為最美數學內容之一的學科。文章開頭之前，還是要感謝各位朋友同學的鼓勵和打賞，沒有了朋友同學的一再支持，偉崗也許早就放棄聊數學了。
跟很多人想象的情況相反，數學是現在很多家庭的心病。大量的金錢，資源和時間都投入到小孩的數學培訓上，效果卻不明顯。這甚至造成了一些家庭的不和諧。數學成了很多年輕人獲得美好生活的攔路虎。甚至有很多人在工作以後還在感嘆，要是當年的數學成績好一點就好了。從某種意義講，教育之所以成為現代人揹負的三座大山（房子，醫療和教育）之一，數學教學的不完美是重要因素。有多少人感受到數學之美，偉崗感到懷疑。
即使到了今天，人人都能寫作的自媒體時代，能夠告知很多人數學是美的科普文章或書籍也不多。由於數學內容的繁雜和深奧，絕大多數數學科普只能淺嘗輒止，還遠遠到不了探索數學美的層次。當然也存在一些試圖把有深度的數學內容展現給大家的數學家，比如公眾號老顧談數學，只可惜這些數學內容，基本都是雲裡霧裡，離普通人能夠理解，能夠接受的程度相差十萬八千里。
可是歷史又把深刻理解數學內容的重任交到了家長手上。如果家長都對學習數學感到吃力，覺得枯燥無味，又怎麼能要求自家小孩花很多精力去學數學呢？所以去感受數學的美，才是目前很多人急需要完成的事情。即使你沒有教育小孩的責任，能夠從數學中感受到人類文明之美以及之和諧，也是一件叫人賞心悅目的事，所以跟著偉崗學點群論吧，看看數學教授們是不是忽悠人，群論乃至數學裡到底能不能得到一些思考的快樂和鼓勵你積極向上的正能量？
目前學群論有三種路徑。第一種是按照現在國內的教科書，主要通過一些整體的描述和定義定理的證明展開整個內容。通過這條路徑，可能應該是在大學裡選修相關課程來學習才有效果。偉崗當年看了很多遍教材，始終也入不了門。
第二種就是通過圖形化來掌握群論的基本內容。這個以油管上克萊姆森大學（Clemson University）數學教授麥考利（Macauley）的群論視頻為代表，這個視頻非常流行。看的人已經超過10萬。正是這個視頻中說群論是最美的數學內容之一。麥考利教授主要通過一些漂亮的圖形（比如卡利流程圖—Cayley diagram）來展現群論的抽象內容。這個視頻用來自學要比較細心，因為它是以國外上課的形式展開內容的。特點是信息量大，缺點是有時候不容易跟上教授的思路。當然最大的障礙是英語水平，很多數學上的名詞，要知道它的英語發音和拼寫還是有一定難度。
第三種途徑就是通過油管上一個叫Ben的英國醫學院學生的群論視頻教材。這個視頻系列的特點是從群論的最基本單元：元素和乘法表去學習群論。這樣的方法非常適合自學，因為跟上面兩種方法比較，這種方法相對邏輯比較簡單清晰。缺點就是，要講複雜的內容就比較囉嗦一些，畢竟從最基本的元素去探討群論，有的時候很難說清楚非常抽象和複雜的內容。比如到了學習伽羅華理論時，這種方法就反倒顯得非常難跟上節奏了。
當然大多數人並不想真正展開去學習群論的內容，那你就跟著偉崗來感受一下群論的美吧。
群論的第一美，在於對過去套路的顛覆。沒有神秘就沒有美，如果群論還是跟原來我們中學學的數學一樣，就是加減乘除等的變換，群論的美就要大打折扣了。
比如說群論的乘法表，剛接觸的時候，你一定以為就是我們小學就學過的乘法，兩個元素相乘就行了。即使進一步，你發現這個乘法可以有很多定義，甚至一個位置變換也可以當做乘法，你也許還是有一點掉以輕心，以為只不過是換個馬甲而言。等到學陪集（英語叫：cosets）時，左右陪集就體現了群論的抽象性，一個群論意義下的乘法竟然是把一個群分成子群，這個對思維的考驗還是有一些的。你這時可能會深入思考，會想到原來群論並不在乎運算（當然這裡說的不在乎是數學意義上的不在乎，學習群論，運算能力還是必須的），群論的關注點是整個群的模式和對稱（英語叫：pattern and symmetry）。一個集中力量在整體的數學分支，跟我們以前所學的數學內容還是大大不同，這考驗我們的思維能力。
而再往下學到商群（quotient groups），內容就更加的複雜，商的概念就跟我們以前的除法大大不同，商群竟然牽涉到正規子群以及正規子群的陪集，雖然陪集是通過左乘或右乘得到，但是商群卻跟乘法和除法似乎一點關係都沒有，只跟群的分割有關係，這大大出乎我們的預料。但是一旦我們想通了某個出乎意料的概念，心裡會感到一絲興奮，像這樣的數學分支不多。學習中能獲得樂趣自然是群論美的體現。
群論的第二美在於外表形式的簡單。一個很多人都公認比較難的數學分支，竟然只有5種群要深入研究：簡單循環群（cyclic groups）,阿貝爾群（也叫交換群，abelian groups），二面體群（dihedral groups），對稱群（symmetric groups）和交錯群（alternating groups）。其中也許只有交錯群理解有些難度。更為關鍵地是，還有一個凱萊定理（Cayley theorem）: 所有的有限群都同構於它對稱群的子群。也就是說，研究任何群，只要研究相應的置換群就行了。這樣大統一的結論在數學上是非常罕見的。這從一個側面說明群論的和諧。簡單和諧不正是美的體現嗎？
群論的第三美在於有深度。一個膚淺無趣的人，外表再豔麗也很難有吸引力。內涵和素質常常是決定因素。為什麼那麼多人都認為群論難學，自然是因為群論有深度。非常容易學的數學內容，沒有人會認為它美，反而是要經過千辛萬苦才得到深刻理解的東西，會使數學家，數學愛好者乃至一般人感受到這些數學內容的驚豔。
群論是到了學西羅定理（Sylow theorems）開始有些難度。交錯群就在學習西羅定理之後。理解交錯群要從位置變換開始。一組數的位置變換，比如（1,2,3,4）變成（1,3,4,2）數學上叫置換（英語叫permutation,讀起來很有韻味）的基礎。按照排列組合公式，這樣的位置變換共有n!（也就是n的階乘）個，這個n是指共有多少數字需要位置變換，比如上面的例子就是4，也就是說上面4個數字的位置變換有4X3X2種，也就是24種位置變換。
數學家證明了任何位置變換都可以化成兩兩位置變換的組合，拿上面的例子來說，雖然位置變換是3變成了2的位置，4又變成了3的位置，但我們可以找到一組只是交換兩個數位置的變換的組合，完成上述變換。（上面的例子就可以轉換成3先跟2位置變換，然後4再跟2位置變換）。這樣的轉換當然可以有很多種。還是拿上面的變換作為例子，我們還可以4先跟2變換位置，然後2再跟3變換位置，結果都是一樣的。數學家嚴格證明了，雖然把任何變換轉換成位置的兩兩變換有很多不同種方式，但是所有的轉換變成的兩兩位置變換個數的奇偶性不變。也就是說，如果一個位置變換轉換為某個兩兩位置變換的數量為奇數（也就是1,3,5,7等），那麼這個位置變換轉換成兩兩位置變換的個數只能是奇數（這個數學家定義為奇置換）。如果是偶數（數學家定義為偶置換）情況也一樣。這個結論有點搞，要細細體會一下。
交錯群的定義就是決定於這些轉換中。也就是說一個所有置換群的偶置換子集也組成一個群，這個群就叫做交錯群。為什麼單單把偶置換提出來單獨研究，沒看到奇置換的身影，教科書也沒說。偉崗估計是因為偶置換更體現對稱性，所以很多群論要研究的對象都同構於交錯群，畢竟群論要研究的就是對稱性。這就是帶出群論的下一個美妙點：和諧與對稱。
從前面我們敘述伽羅華理論的時候，我們已經感受到群論因為研究對稱而產生的威力。美如果沒有震撼力，也談不上美。群論通過提煉多項式方程的根在複平面上對稱的信息，加上同構映射的複平面上根的旋轉和翻轉信息的整合，竟然解決了困擾數學家上千年的難題：5次及5次以上方程根式解問題，這個在數學圈引發的震動不會比任何其它震動小。你要是一個數學研究者，甚至你只要是一個數學愛好者，對這樣的震動都會感到目瞪口呆。數學史上這樣的進步還真不多。
實際上二面體群的組成就是融合伽羅華證明的思想（這個應該是後續數學家在伽羅華思維的基礎上發展起來的）。想象一個圓上的點，可以通過旋轉和翻轉使得這些點重合，二面體群的組成就是這些旋轉和翻轉變換。這些旋轉翻轉變換組成的群就是二面體群，它是置換群的子群。其思路應該來源於伽羅華群對多項式根映射產生的結果。
旋轉和翻轉變換組成的二面體群體現了一種特殊的和諧之美。這要從它在我們生活中有很多身影例子體會出來。比如魔方就是翻轉和旋轉的組合。還有就是很多分子和多面體都能通過旋轉和翻轉變換來展現它們的對稱特性。數學家把這些對稱現象整合到數學內容中，你不得不佩服數學家的想象力和邏輯推理能力。群論的應用現在已經四面開花，不過由於其深度和難度，真正在其它領域展現其震撼性還需要假以時日。這也帶來另一個感嘆：群論還有巨大的潛力，還需要更多的天才去探索，這也許是群論最美麗的一點。
一個事物能夠激發你的想象，喚起你的激情，發揮你的天才，有比這更美麗的東西嗎？事實上群論已經給很多數學家帶來了榮譽。我們現代最偉大的數學家應該算懷爾斯了，他的費馬最後定理的證明也是用到了群論中的群表示理論。就是舒爾茨，這個冉冉升起的數學新星，他的p進理論也離不開群論。所以如果你能夠去鑽研群論，或者至少帶動你的小孩愛上群論，前途可以說是一片光明。如果你能深刻理解群論，你離成為數學家就不遠了。
好了，今天也聊得夠多了，感謝各位朋友同學關注偉崗，偉崗保證以後還要寫出更精彩的文章，下來偉崗想聊的話題是幾何，這個實際上也是偉崗的弱項。偉崗還在努力學習中，只能說把學習體會跟大家分享分享。
請繼續打賞偉崗，這樣寫出的文章會更精彩！
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