量子的提出
19世紀後期，科學家們發現很多物理現象無法用經典理論解釋。當時德國物理界聚焦於黑體輻射問題的研究。1900年左右，M·普朗克試圖解決黑體輻射問題，他大膽提出量子假設，並得出了普朗克輻射定律，沿用至今。普朗克提出：像原子作為一切物質的構成單位一樣，“能量子”（量子）是能量的最小單位。物體吸收或發射電磁輻射，只能以能量量子的方式進行。普朗克在1900年12月14日的德國物理學學會會議中第一次發表能量量子化數值、一個分子摩爾（mol）的數值及基本電荷等。其數值比以前更準確，提出的理論也成功解決了黑體輻射的問題，標誌著量子力學的誕生。
1905年，德國物理學家愛因斯坦把量子概念引進光的傳播過程，提出“光量子”（光子）的概念，並提出光同時具有波動和粒子的性質，即光的“波粒二象性”。
量子力學的建立
在量子力學中，一個物理體系的狀態由波函數表示，波函數的任意線性疊加仍然代表體系的一種可能狀態。對應於代表該量的算符對其波函數的作用；波函數的模平方代表作為其變量的物理量出現的幾率密度。
1923年，法國物理學家德布羅意於提出物質波概念。認為一切微觀粒子均伴隨著一個波，這就是所謂的德布羅意波。
德布羅意的物質波方程：
，
，其中，
，可以由
得到
。
由於微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運動規律就不同於宏觀物體的運動規律，描述微觀粒子運動規律的量子力學也就不同於描述宏觀物體運動規律的經典力學。當粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規律也由量子力學過渡到經典力學。
1925年，海森堡基於物理理論只處理可觀察量的認識，拋棄了不可觀察的軌道概念，並從可觀察的輻射頻率及其強度出發，和玻恩、約爾當一起建立起
矩陣力學。在矩陣力學中：
用量子力學的泊松括號表示量子力學的運動方程，即
，
，其中
為量子體系的哈密頓矩陣。
矩陣力學的主要內容：
①任何物理量都用一個厄米特矩陣表示。物理系統的哈密頓量也用一個厄米特矩陣表示，併為座標和動量矩陣的函數。
②座標矩陣
和動量矩陣
滿足下列對易關係：
（
為單位矩陣）。
③系統的正則運動方程是
，
。
④物理系統（如原子）的光譜線頻率由
決定。
為
的本徵值。
1926年，薛定諤基於量子性是微觀體系波動性的反映這一認識，找到了微觀體系的運動方程，從而建立起波動力學，其後不久還證明了波動力學和矩陣力學的數學等價性。
波動方程由麥克斯韋方程組導出的、描述電磁場波動特徵的一組微分方程，是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。
一維波動方程：
二維波動方程：
三維波動方程：
1928年，英國物理學家狄拉克對量子力學理論進行了系統的總結，並將兩大理論體系——相對論和量子力學成功地結合起來，揭開了量子場論的序幕。
量子場論的建立基於經典場論，狹義相對論和量子力學。經典場的物理性質可以用一些定義在全空間的量描述〔例如電磁場的性質可以用電場強度和磁場強度或用一個三維矢量勢A(x,t)和一個標量勢\\phi(x,t)描述〕。這些場量是空間座標和時間的函數,它們隨時間的變化描述場的運動。空間不同點的場量可以看作是互相獨立的動力學變量，因此場是具有連續無窮維自由度的系統。場論是關於場的性質、相互作用和運動規律的理論。量子場論則是在量子力學基礎上建立和發展的場論，即把量子力學原理應用於場，把場看作無窮維自由度的力學系統實現其量子化而建立的理論。
量子場論中的三種處理方法：
1、微擾論。在考慮相互作用後,還不能求得量子場論方程的精確解，必須採用近似計算方法。較早發展起來的量子場論的計算方法是在量子電動力學中首先採用的微擾的方法。在量子電動力學中，考慮到電子場和電磁場相互作用的耦合常數(即電子的電荷) e是一個小量，把哈密頓量中代表相互作用的項作為對自由場哈密頓量的微擾來處理。這樣各種反應過程的振幅可表成耦合常數 e的冪級數，微擾論方法是逐階計算冪級數的係數。考慮到耦合常數很小，只要計算冪級數的前面幾個低次項，就可以得到足夠精確的近似結果。
2、非微擾。處理量子場論問題的微擾論方法有它的侷限性，它要求耦合常數很小，即屬於弱耦合的情況。耦合強到一定程度後微擾論展開式的頭幾項就不再是好的近似。因此在量子場論發展過程中已經針對不同問題的需要發展了許多種非微擾方法，如色散關係理論、公理化場論、流代數理論、半經典近似方法、重正化群方法、格點規範理論等。
3、發散困難和重正化。在用量子電動力學計算任何物理過程時，儘管用微擾論最低階近似計算的結果和實驗是近似符合的，但進一步計算高階修正時卻都得到無窮大的結果。同樣的問題也存在於其他的相對論性量子場論中，這就是量子場論中著名的發散困難。
量子電動力學
量子電動力學是量子場論中最成熟的一個分支。它研究的對象是電磁相互作用的量子性質（即光子的發射和吸收）、帶電粒子的產生和湮沒、帶電粒子間的散射、帶電粒子與光子間的散射等等。
量子電動力中三個基本作用：
一光子從一時間地點，移動到另一時間地點；
一電子從一時間地點，移動到另一時間地點；
一電子在某一時間地點，發射或吸收一光子。
這些作用可以用圖像表示，也就是費曼圖的三種基本元素：波浪線代表光子，直線代表電子，兩直線與一波浪線的交匯處代表電子發射或吸收光子的頂點。
量子色動力學
量子色動力學是一個描述夸克膠子之間強相互作用的標準動力學理論，它是粒子物理標準模型的一個基本組成部分。
量子色動力學是一個描述夸克膠子之間強相互作用的標準動力學理論，它是粒子物理標準模型的一個基本組成部分。夸克是構成重子（質子、中子等）以及介子（π、K等）的基本單元，而膠子則傳遞夸克之間的相互作用，使它們相互結合，形成各種核子和介子，或者使它們相互分離，發生衰變等。
量子色動力學是規範場論的一個成功運用，它所對應的規範群是非阿貝爾的群，群量子數被稱為“顏色”或者“色荷”。每一種夸克有三種顏色，對應著群的基本表示。膠子是作用力的傳播者，有八種，對應著群的伴隨表示。這個理論的動力學完全由它的規範對稱群決定。
量子色動力學享有2種特有的屬性：
禁閉，這意味著當它們被分開時，夸克之間的力並不降低。因此，當你試圖分開兩個夸克時，在膠子場中的能量足夠產生一個夸克對。所以夸克永遠是以強子的方式束縛在一起，如形成質子和中子或π介子或K介子。雖然在解析上還未獲得證明，但夸克禁閉被廣泛地接受，因為它解釋了為何尋找自由夸克一直失敗，而這在格點量子色動力學中很容易展示出來。
漸近自由，這意味著在非常高的能量反應中，夸克和膠子之間非常微弱的相互作用創造了夸克-膠子等離子體。量子色動力學的這一預測，在1970年代初由大衛·波利澤和弗蘭克·維爾切克和大衛·格羅斯首次發現。因為這項工作，他們被授予2004年諾貝爾物理學獎。
標準模型理論
在粒子物理學裡，標準模型是描述強力、弱力及電磁力這三種基本力及組成所有物質基本粒子的理論，屬於量子場論的範疇，並與量子力學及狹義相對論相容。
標準模型共61種基本粒子包含費米子及玻色子——費米子為擁有半奇數的自旋並遵守泡利不相容原理（這原理指出沒有相同的費米子能佔有同樣的量子態）的粒子；玻色子則擁有整數自旋而並不遵守泡利不相容原理。簡單來說，費米子就是組成物質的粒子而玻色子則負責傳遞各種作用力。
電弱統一理論與量子色動力學在標準模型中合併為一。這些理論都是規範場論，即它們把費米子跟玻色子（即力的中介者）配對起來，以描述費米子之間的力。由於每組中介玻色子的拉格朗日函數在規範變換中都不變，所以這些中介玻色子就被稱為規範玻色子。標準模型所包含的玻色子有：
膠子 - 強相互作用的媒介粒子，自旋為1，有8種
光子 - 電磁相互作用的媒介粒子，自旋為1，只有1種
W及Z玻色子 - 弱相互作用的媒介粒子，自旋為1，有3種
希格斯粒子 - 引導規範群的自發對稱性破缺，與費米子有湯川耦合，亦是慣性質量的源頭。
實際上規範玻色子的規範變換是可以準確地利用一個稱為“規範群”的酉群去描述。強相互作用的規範群是SU(3)，而電弱作用的規範群是SU(2)×U(1)。所以標準模型亦被稱為SU(3)×SU(2)×U(1)。
在眾玻色子中，只有希格斯玻色子不是規範玻色子。而負責傳遞引力相互作用的玻色子——引力子則未能被包括在標準模型之中。
標準模型包含了十二種“味道”的費米子。組成大部分物質三種粒子：質子、中子及電子，當中只有電子是這套理論的基本粒子。質子和中子只是由更基本的夸克，受強作用力吸引而組成。以下的標準模型的基本費米子：
費米子可以分為三個“世代”。第一代包括電子、上及下夸克及電中微子。所有普通物質都是由這一代的粒子所組成；第二及第三代粒子只能在宇宙射線或是高能實驗中製造出來，而且會在短時間內衰變成第一代粒子。把這些粒子排列成三代是因為每一代的四種粒子與另一代相對應的四種粒子的性質幾乎一樣，唯一的分別就是它們的質量。例如，電子跟μ子的自旋皆為半整數而電荷同樣是-1，但μ子的質量大約是電子的二百倍。
電子與電中微子，以及在第二、三代中相對應的粒子，被統稱為輕子。夸克擁有一種叫“色”的量子性質，並且與強作用力耦合。強作用力不同於其他的作用力（弱力、電磁力、重力），會隨距離增加變得越來越強。由於強作用力的色禁閉特性，夸克永遠只會在色荷為零的組合中出現（如介子、重子），這些不同的組合被統稱為“強子”。
目前實驗中確認的強子有兩種：由三顆夸克組成的費米子，即重子（如質子及中子）；以及由夸克－反夸克對所組成的玻色子，即介子（如π介子）。而由五個夸克所組成的五夸克粒子，目前實驗上的結果仍有爭議。
量子理論的發現
海森堡不確定性原理
在量子物理學中，某些東西從嚴格意義上說是不可知的。例如，你永遠不可能同時知道電子的位置和動量，正如你永遠不可能讓硬幣的兩個面都朝上。
有些書上教你這樣去理解不確定性原理：例如，要想知道電子在哪裡，你須得用某種東西（例如光子）探測它。但光是一種波，它的分辨率決定於它的波長，波長越短分辨率越高。所以為了把電子的位置測量得更準確，你最好是選用波長越短的光。但光又是一種粒子，其能量與波長成反比，波長越短能量越高。光子能量越大，對電子的碰撞也越大。這樣一來，不管你的探測多麼小心，都會改變電子的動量。在經典世界，觀察或測量對觀察對象的干擾可以忽略不計，但在微觀世界，干擾無論如何是不能忽略的。
這樣說當然也沒錯。不過，不確定性原理事實上比上述這樣的理解更深刻。它說的是，自然界有一種天生的模糊性。在測量之前，電子的狀態（包括它的位置、動量），是各種可能狀態的疊加。它處於一種疊加態。疊加態具有天然的“模稜兩可性”：既可能是這樣，又可能是那樣，或者說幾種可能性同時並存。僅當測量時，它才被迫選擇一種確定的狀態呈現出來。
好比一枚“量子硬幣”，當它落下之前，它的狀態是“正面朝上”和“背面朝上”兩種狀態的疊加。僅當它落到地面靜止下來，它才被迫選擇停留在兩種狀態中的一種。
波粒二象性
量子物體（如光子和電子）具有分裂的個性——有時它們的行為像波，有時又像粒子。它們的表現取決於你設計實驗時，是以波還是粒子來看待它們。
例如，我們知道，粒子的運動是有軌跡的，而波的特點是在整個空間瀰漫，沒有確定的軌跡。當你把量子物體當作粒子看待（如用粒子探測器探測它），想知道它的運動軌跡，好，那它就表現得像個粒子。假如你在設計實驗的時候，想看看它的波的特性，如干涉、衍射等，好，它就表現出波的特性。
在量子力學中有一個著名的雙狹縫實驗。它之所以著名，是因為展示了量子的許多奇怪特徵。下面我們就以它為例子來談談。
假如你在一個水池裡設置一個有兩條豎直狹縫的屏障，然後用手指蘸一下水產生水波，水波會穿過兩條狹縫。穿過兩狹縫的水波會在屏障後面互相干涉，形成一個干涉圖案。
如果你把屏障從水裡拿出，朝狹縫發射一堆子彈，它們就會直接穿過這條或那條狹縫，在屏障後留下兩條分明的彈痕，而不會產生干涉圖案。
這是經典的波和粒子在雙狹縫實驗中的表現。但詭異的是，微觀粒子譬如電子，可以同時表現出兩者。
假如你朝狹縫發射電子，甚至像發射子彈一樣控制好，一次發射一個，起初屏障後面開始形成兩條明顯的“彈痕”，說明電子錶現得像粒子；但隨著你發射的電子漸多，彈痕也漸漸模糊起來，最後竟然在屏幕上顯示出明暗相間的干涉圖案，這時它又表現得像波了。倒好像每個電子同時穿過了兩條狹縫，並與自身干涉。
按照不確定性原理，可以這樣解釋：因為電子是一個量子物體，我們不能確切地知道它的位置。電子有機會穿過一條狹縫，也有機會穿過另一條狹縫——因為兩者都是可能的，所以它實際上同時經歷了兩個過程。換句話說，確實是每個電子同時穿過了兩條狹縫，並與自身干涉。
現在，更詭異的事情來了。假如你在兩狹縫邊上各放置一個粒子探測器，來觀察電子到底穿過了哪條狹縫。你的意圖可以得逞，比如電子擊中探測器的探頭，不斷髮出明亮的閃爍，你高興地歡呼：“你這個鬼傢伙，終於被我逮著了！你剛才走的是這條縫，現在走的是那條縫。”但是，等你把頭探到屏障後面，就會發現大事不妙：干涉圖案竟然消失不見了，只留下像彈痕一樣的兩條直截分明的狹縫投影。
按前面的解釋，這是因為你知道了電子穿過哪個狹縫之後，它不就再處於疊加態，所以只能選擇一條路徑，通過一條狹縫。電子的波動行為消失了，表現得完全像粒子。
如果你對上述解釋還感到頭疼，那麼請想一想這個事實，或許多少受些安慰：物理學家其實也不太能接受這樣的解釋，他們一直都在為這個明顯的悖論想破腦殼。
波函數
這是一種用來描述波-粒子的數學。
至關重要的是，一個量子波函數可以包含有許多種可能的解，每一個解都對應著一種可能的現實，波函數則是這許多種可能的解按一定概率的疊加。譬如，一個“量子硬幣”的波函數包含“正面朝上”和“背面朝上”兩種解，每一種解都對應一種現實，實現的概率各為50%。
令人驚訝的是，疊加態中不同的解似乎還相互作用。這一點，在前面的雙縫實驗中我們其實已經看到了，當電子同時經歷了兩個可能的軌跡，既穿過這條縫，也穿過另一條縫時，就會產生干涉。我們的觀察或者測量，似乎對波函數起著一種神秘但又至關重要的作用，即造成波函數的坍縮，迫使原先處於各種可能的疊加態做出非此即彼的選擇。好像我們對自然說：“喂，別再跟我含糊其辭，必須給我一個明確的答覆。”於是自然只好吞吞吐吐做出“是與否”，“此與彼”的答覆。
觀察為什麼能迫使波函數坍縮呢？這是誰也解釋不了的機制，所以很神秘。
測量導致的波函數坍縮，疊加態崩潰，是不可逆的，不可恢復的。這正是量子通信的基礎。量子通信優於傳統通信的最大亮點是保密性好。為什麼它能做到這一點呢？因為信息的載體（比如光子）被竊聽者截獲之後，他為了得到信息，不能不對它進行測量，但測量之後，光子的狀態就改變了，這樣就很容易被通信的雙方察覺。所以量子通信雖然沒辦法阻止被人竊聽，但竊聽者很容易暴露自己。
疊加態和薛定諤的貓
想象一隻貓和一小瓶氰化物被放置在一個密閉的盒子裡。瓶子上方有一把用電子開關控制著的錘子。如果開關被隨機發生的量子事件（例如鈾原子的衰變）觸發，錘子就會砸下來，把盛有氰化物的瓶子砸碎，貓就會一命嗚呼。
這個由奧地利物理學家薛定諤設想的思想實驗，是用來說明疊加態的概念的。
鈾原子的衰變遵循量子規律，所以它的波函數有兩個解：衰變或不衰變。根據量子理論，在進行測量之前，這兩種可能性都是存在的。事實上你可以認為，在測量之前，鈾原子同時衰變又不衰變，處於兩者的疊加態之中。
因為貓的命運維繫於鈾原子的衰變情況，所以你不得不承認，當鈾原子處於衰變和不衰變的疊加態時，貓也將處於一種活和死的疊加態。即是說，在我們打開箱子觀察之前，這隻貓處於既死又活的狀態。
疊加態是量子計算機的基礎。傳統的計算機只對0和1操作。1比特的信息，就是0或1。但是量子計算機直接對1量子比特進行操作，而1量子比特是0和1兩種狀態的任意疊加，這種疊加形式幾乎是無限的。這正是量子計算機與傳統計算機的運行速度不可同日而語的原因。
量子糾纏
量子糾纏是指當兩個粒子（例如光子）密切相關時，對一個粒子的測量立即就會影響到另一個粒子，不管兩者相距有多遠，哪怕一個在地球上，一個在宇宙的邊緣。
這有點像你還是個孩子的時候，可能玩過的一個遊戲：叔叔每隻手裡都攥著一個綵球，一紅一藍。先讓你看，看完把它們在背後混合。混合完再拿出來，讓你猜每隻手中球的顏色。從你的角度來看，這兩個球就像發生了“糾纏”——如果他左手拿的是紅球，那就意味著他右手拿的必定是藍球；反之亦然。
但量子的情況更神秘，因為在疊加態中，每個“球”並沒有確定的顏色。任何時刻，都能以同樣的概率顯現紅或藍，而且是完全隨機的。
你如果觀察一個“量子球”，那麼它的波函數坍縮，它將被迫選擇一種確定的顏色顯現，比如說是紅色。可是與此同時，遠在宇宙邊緣的另一個糾纏的“量子球”，它的波函數也立刻坍縮，它也立刻以一種確定的互補顏色顯現了，比如說是藍色。問題是，我們對後者並未做任何直接的觀測，沒有對它產生任何作用呀。
這樣一來，對一對量子糾纏的粒子中的一個進行操作（比如說觀察），似乎立刻就能影響到另一個粒子，不管它們相距多遠。愛因斯坦覺得，這違反了他的相對論提出的“任何運動或作用力的傳遞都不能超過光速”的原理，所以他給量子糾纏貼上了“幽靈般的相互作用”的標籤。
量子糾纏是“量子隱態傳輸”的基礎。所謂量子隱態傳輸，就是把甲地的一個粒子的狀態瞬間轉移到乙地的另一個粒子上，如同某些科幻小說中描寫的“超時空傳輸”。不過請注意，這裡傳輸的不是粒子本身，而是粒子的狀態，即傳輸的僅是信息。
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