作者：興業研究首席分析師 蘇暢，興業研究分析師 劉揚
來源：興業研究（ID：CIB_Research）
摘要
我們使用物理學概念構建了一個描述全球經濟金融市場相關性狀態的指標：分散熵。
長週期下的GDP熵處於下降通道中的歷史低位，意味著全球經濟表現的分散性很低，同步性強--相同處境下的歷史隨後都伴隨著較大的經濟波動（或戰爭）。長週期下的軍事熵處於歷史高位，軍備支出變化分散性很高，即還沒有全球軍備競賽的前提條件--這一現象與1880年代可比，全球相對和平，衝突主要發生在大小國和代理國之間。長週期下的跨資產投資熵處於歷史高位，分散性較高，對應的是1970年代的滯脹前夜，但目前我們還沒法看到通脹持續性的證據，假若成立，則可能需要能源或者原材料等供給側的外部衝擊。
短週期的金融市場分散熵：三低一平，跨資產、債券、匯率較低，股票處於中游。與歷史相比，目前金融資產的總體表現相關性較強，或者說分散性是較弱的。
從統計指標的角度來講，分散熵刻畫了各階矩（均值、方差、偏度、凸度等）的加權，相對於總體指標給予特質風險的分散程度，對於宏觀分析和投資預測都具有繼續挖掘的價值。
大國博弈的週期
大國的崛起一般都相對曲折和漫長，需要幾十年乃至上百年的時間，當前美國與中國之間的種種摩擦不可避免的有著國別博弈的影子。從投資的角度來說，對當下世界格局狀態的理解和分析是必要但又十分困難的，我們或許需要從政治學、歷史學、經濟學等多個維度做出綜合研判。
當下的時點是一個超級大國與潛在的幾個大國角力的上升週期，本文我們借用了物理學中的“熵”這一概念來衡量世界在幾個維度上所處的狀態。1）國別GDP角度，傳統視角是從國別佔比的份額來描述發展狀態，我們則從國別GDP增長的差異性來觀察，當前全球所處的階段類似於1910/1940/1980年左右，經濟表現的分散性很低，全球同步，相似處境下的歷史隨後都伴隨著較大的經濟波動（與戰爭）；2）軍事支出的差異性來看，軍備支出變化分散性很高，即還沒有全球軍備競賽的前提條件，與1880年代可比，全球相對和平，衝突主要發生在大小國和代理國之間；3）長週期下的跨資產投資表現分散性較高，對應的是1970年代的滯脹前夜，但目前我們還沒法看到通脹持續性的證據，假若成立，則可能需要能源或者原材料等供給側的外部衝擊；4）而從短週期的金融市場來看，目前金融資產的表現相關性較強，或者說分散性是較弱的。
接下來我們介紹GDP分散熵、軍事分散熵以及跨資產分散熵幾個指標當前水平與歷史水平的比較，有興趣的讀者可以在附錄中找到具體分散熵的定義與計算方式。
GDP分散熵（1870-2017）：混亂前夜2017 vs 1908？1942？或者1982？
我們使用了Maddison計劃下將近150年的GDP歷史數據，並使用IMF數據庫對最近的GDP加以補充。整個GDP的數據考慮到了購買力平價水平PPP和整體通脹水平，使用的GDP單位為國際幣。
首先，我們統計了全球主要國家的GDP佔比走勢（圖1）。可以看到，（1）全球前七大經濟體的GDP佔比基本保持不變，20世紀中葉佔比最高，目前佔比在70%左右，但是（2）內部佔比變化很大：歐洲整體GDP佔比下降趨勢明顯，從1870到今天，英法德三國的GDP佔比從接近30%下降到目前的11%，其中英法GDP穩步下降，德國在二戰後一度佔比上升。對於蘇聯和日本來說，其主要的上升期在二戰至上世紀80年代。其中蘇聯GDP上升略早於日本。對於中國來說，整個佔比呈現先減小後增大的趨勢，從1870年的20%，到70年代5%，再到目前的30%。對於美國來說，其趨勢恰巧與中國相反，從1870年的10%，到40年代的接近40%，再到目前的20%。
那麼，如何理解這種GDP的改變？僅僅從佔比上來考慮，中國目前的地位或許與美國1920年或者90年代的地位相似，但是全球其它國家的狀態也是不一樣的。
因此，我們使用了GDP增速的分散熵對全球GDP做出刻畫。根據國家GDP體量的大小，我們計算了只考慮大國的分散熵（美英法德俄中日印）和考慮了23個主要國家的分散熵（具體國家名單見圖表1附註）。需要注意的是，我們選擇儘量維持經濟體的地理邊界不變，因此不考慮歐元區整合以及一些國家區域改變的問題。在這種思路下，我們討論的是地理區域概念下的經濟體表現的分散度，而戰爭政治等因素是外生變量，它們導致的經濟變化只能從影響地理邊界來影響經濟表現的分散度。
8國和23國兩個版本的分散熵結論大致相同：目前全球經濟同向表現處於歷史高位，全球“市場風險”較高。其中，8國版本的分散熵值處於歷史23百分位，23國版本的分散熵值處於歷史3.4百分位。在處於分散熵的下降趨勢下，可比的歷史年份為1906-1908、1942和1982年，可以看到分散熵的可比值要比簡單的GDP佔比早了10年以上，說明僅僅從GDP考慮經濟體量上來看，我們對於中國的估計也要保守10年以上，假如考慮資本形成量（即去除勞動力）甚至資本質量，而不是生產量（GDP）的話，對於中國經濟狀態要保守估計20年以上，即只相當於美國1880-1890年的水平。
具體來看這三個可比年份。其中，1942年處於二戰最困難的時期，我們不排除在戰爭時候GDP統計方面的滯後效應。1908年為20世紀最美好的時代之一，全球科技日新月異，但是幾年之後世界突然進入了動盪的一戰時代；1982則是美俄爭霸後半段、美日貿易摩擦的起點時刻。自從2000年以來的本輪分散熵的下降，主要的原因是全球化下生產分工導致的經濟表現融合，其中一大部分是中國經濟融入全球。
無論將2017年比照1908、1942或者是1982年，經濟全球化所帶來的分散性減弱，都將全球經濟置於一個對外部衝擊承受力脆弱的時代，危害不大的衝擊或也將使全球經濟產生劇烈反應。
軍事分散熵（1816-2017）：相對和平階段2017 vs 1880s？
我們使用的全球軍事支出數據來源為Correlates of War計劃，這個計劃下的數據集合了全美學者以及部分其他國家學者對於戰爭相關數據的收集。
僅從軍事支出金額來看，在1830-1913年期間，新興國如美國、德國等總體佔比上升，其中1860年代美國軍事支出大幅上升為美國內戰導致。而進入到20世紀，兩次世界大戰導致全球軍費開支佔比的變化改變很大（圖3-4）。總體來說，美國的軍費佔比從不到10%上升至50%以上，俄羅斯軍費佔比由於在解體前與美國不相上下，但是在解體後只能與英法等國可比。另外，日本的軍費開支雖然佔比仍然較小，但呈現逐漸上升的趨勢。
由於軍事支出數據跳躍較大，且不能完全代表該國軍力水平。在計算軍事分散熵時，我們使用的是國家能力綜合指數（Composite Index of National Capability, CINC）[1]。CINC指數等權重加總了一國在鋼鐵產量、軍事支出、軍隊人員、能源消費、總人口和城市人口這六個變量在全球的佔比值。與GDP相似，我們也計算了7國和13國兩個版本的軍事分散熵，並且二者的結果相似。
目前的CINC指標顯示全球整體分散程度較大，7國版本的分散熵已經達到歷史高點，13國版本的分散熵與1880s以及1900s可比。按照當前時點的分散熵在歷史上百分位來看，目前的7國版本的分散熵處於歷史第100百分位，13國分散熵處於歷史第93百分位。
聯繫歷史上的軍力情況，自蘇聯解體之後世界已經維持了30年的一超多強的格局，在整個20世紀基本沒有出現過這種情況，因此我們的分散熵的可比年也主要在1880-1890年代。在可預見的未來，除非出現一戰類似的偶發事件（宗教、恐怖主義等原因），由於分散熵還沒有下降，短期內我們認為與1880年代可比。中國、俄羅斯的軍事支出仍然保持較低水平，美國軍事地位無人挑戰，爆發大規模軍事衝突的可能性不大。即便爆發衝突，總體上將是大國打小國或者大國代理戰爭的形式。
僅從指標上來說，只有當分散熵開始下降，即意味著全球軍備競賽開始同步時，衝突因素也將開始累積（比照1910年代）。
綜合來看，我們定義一個簡單的軍事強度指標：
軍事強度 = 軍事支出佔比/經濟佔比
考慮到大國的軍事需求比小國更大，合理的軍事強度應該在1以上，但是過高的軍事強度往往是不可持續的，這也是目前美國、英國、法國出現的情形。而中國和德國的軍事強度較低，日本和俄羅斯軍事強度處於合理的水平。假如美國經濟佔比繼續萎縮，可持續性也存在疑問。
跨資產分散熵（1897-2017）： 滯脹幽影2017 vs1970s?
金融資產的存在歷史較短，並且久遠的數據較難取得。我們選取了具有代表性的防禦型資產-黃金和商品類資產-原油。對於債券和股票的歷史數據，由於美國數據保存的最為完整，因此我們使用了穆迪投資級公司Aaa評級的債券收益率和道瓊斯工業指數DJIA。四個數據覆蓋的時間段為1897-2017。與之前計算GDP和軍事支出分散熵的方法相同，我們取30年為一個樣本段，計算每年的回報率，滾動向前計算分散熵。
在下一節，我們將利用周度數據檢驗短維度（2Y）下的分散熵改變，在這裡，我們檢驗的是長週期下（30Y）的跨資產分散性。
可以看到，在不同投資方法下的分散熵變化趨勢大致相同。目前跨資產表現的分散度較高，分散熵分別處於歷史排位的第90和96百分位。假如從金融危機的角度來看，目前的分散熵暗示爆發大的金融危機的可能性不大，很可能我們即將經歷的是一次小幅的衰退。歷史角度來看，1933和2008年的分散熵都處於下降通道中的較低水平。目前的分散熵較高，且下降趨勢還未完全形成，或許顯示下一輪的經濟危機將不會由於金融系統導致。假如與歷史中相似水平的分散熵相比，那麼1970年代的特點將是由大宗商品拉動起來的高增長高通脹，但與70年代的顯著不同點是，目前全球發達經濟體都處於低通脹階段，美國暫時還沒有達到2%的通脹目標。缺乏動力的通脹能否由於外部因素導致能源價格上漲導致輸入型通脹？從目前美國頁岩氣以及其他新興能源的開發程度來說，暫時的可能性也不大。那麼在本輪經濟週期的後半段，其他大宗商品表現能否超預期，也將間接的影響滯脹期的長度和衰退期的到來時間。
各類別金融資產的分散熵（1980s-2017）： 三低一平
將時間縮短到最近三十年，我們可以利用周度數據，計算在短週期視角下，各類金融資產100週週期下的滾動分散熵。
具體來說，我們的跨資產分散熵是利用美債（LBUSTRUU Index）、MSCI股票世界指數（MXWO）、黃金和CRB商品指數的周度價格變化計算得到。債券分散熵，為美債（LBUSTRUU Index）、中債（LBUSTRUUIndex）、歐債（LBEATREU Index）、亞債（LAPCTRJU Index）和全球高收益債（LG30TRUUIndex）指數構建得到。匯率分散熵使用的是歐元、日元、英鎊、瑞郎、加拿大元和澳元幾種自由浮動貨幣兌美元的匯率。權益分散熵使用的是標普500（美）、FTSE all share（英）、DAX（德）、CAC（法）四國版本，以及加上Topix（日）、MOEX（俄）、恆生（香港）、KOSPI（韓）、Nifty（印度）、JCI（印尼）和中證300的十一國版本。
總體來講，跨資產、債券、匯率和11國版本的權益的分散熵處於歷史低位，四國版本的權益分散熵處於歷史高位。這表明金融資產內部的分散性大致較低，相關性強；而權益市場的相關性或低於其他市場。有趣的是，在08年金融危機前的經濟週期中，跨資產和債券的分散熵都是下降的，即說明整個“相對安全”的金融市場市場表現趨同時，更可能預示危機的到來，目前跨資產和債券的分散熵水平大致與2006年可比。
匯率的分散熵釋放的信號略有不同。按照其最近兩年先下降後上升的模式來看，與98年、02年和09年比較相似。其中02和09年都是危機過後，那麼以98年來比的話，距離主要市場衰退還有2-3年的時間。
權益市場的信息噪音強於之前的三個市場。其中11股市版本分散熵較高，表明在全球化投資的今天，整個大環境是相關性增強的。而4個主要國家版本的分散性在21世紀都處於較低的水平，最近雖然有抬頭的跡象，但目前略有回落。
黃金的分散熵（1950-2017）
儘管1971年以來，“美金”與黃金脫鉤成為美元，整個世界進入了法幣時代，黃金的儲藏價值依然明顯，每次全球衰退時或者市場波動時，金價都會無一例外的上漲。數字貨幣作為一種新型的交易工具，其去主權貨幣的性質或許會與黃金的避險功能產生競爭，但目前黃金仍為主流的避險資產。這意味著，主權國家對於黃金的持有佔比，一定程度上能夠支撐其在發生經濟危機、匯率危機時的防禦力。
二戰後，世界主要國家的黃金儲備量是下降的，其中美國和英國的佔比份額下降幅度最大。但是自從2000年以來，新興大國主動增加了對於黃金的持有量，例如俄羅斯為了實現海外資產多元化，把一部分美債轉化為黃金持有。美國的黃金持有量雖然自20世紀70年代以來變化不大，但是最近也計劃增持。我們認為，當全球單獨霸權國家出現衰退可能，尤其是其國際貨幣（美元）受到潛在挑戰時，對於黃金這種公信力資產的爭奪將會加強。
從分散熵的角度考慮，我們看到全球的黃金持有變動的分散性總體上是呈現上升趨勢的（分散熵下降）。自2000年以來，分散熵有所上升，這主要是由於中國、俄羅斯等國的持有佔比開始增加。由於整個歷史數據時期較短，因此我們無法找到與當前黃金分散度情形相似的歷史年代。雖然90年代末的分散熵大致與目前相似，但是當時熵是處於下降週期，而目前是上升週期。僅僅從黃金持有量佔比來看，美國儲存黃金（30%）是符合其經濟地位的，而中國持有的黃金量應該會繼續上升。
總結
從統計指標的角度來講，分散熵刻畫了各階矩（均值、方差、偏度、凸度等）的加權，相對於總體指標給予特質風險的分散程度，對於宏觀分析以及投資預測都具有繼續挖掘的價值。
附錄1：分散熵的計算
我們所使用的新指標—分散熵，相比於傳統的案例分析方法，比值、相關係數等統計指標來說，具有以下的優點：
1、簡潔性。例如，相關性只能表達兩兩成對的關係變化，槓桿率等比值需要在國與國之間橫向比較。我們很難用這些方法對全球的“狀態”做出衡量。而分散熵能夠將多維數據集合起來，給出可比的單維度指標。
2、高階矩。相對於聚類分析等方法，分散熵考慮的不僅僅是前兩個階矩，而是整個分佈的改變。對於刻畫複雜的經濟社會系統來說更具說服力。
在本文中，分散熵衡量的是指標加權組合後熵的下降程度，具體構建分為以下兩步（具體的數學定義和性質參見文末附錄）：
1、微分熵：衡量組合指標變化不確定性的均值。我們可以簡單的把微分熵理解為一個變量在改變時，其統計量從一階矩到高階矩的加權值。
2、分散熵：每個變量微分熵的加權平均，減去組合的熵，然後除以各變量微分熵的加權（權重為該國GDP佔比）平均。
分散熵的取值在[0,1]之間，取值越高，說明特質風險（idiosyncratic risk，分子第一部分）遠遠大於組合的風險（分子第二部分），特質風險可以被分散掉。從經濟學的角度來說，當變量為各國的GDP時，分散熵越高代表了全球的GDP變化的越無關，全球經濟表現的分散度越大；當變量為各國的股指表現時，分散熵越高則代表了全球金融市場的變化越無關，全球權益市場的分散度越大。
附錄2：分散熵的數學定義和性質
分散熵是一組數據通過微分熵的某種形式函數計算得到的數值，它代表了這組數據的微分熵的加權與這組數據加權後的微分熵的差值變化程度。
首先定義微分熵。隨機變量x的定義域為X，則x的微分熵H（x）可以用數學公式表示為
在這裡，是變量x的密度函數，容易看到微分熵即x的自然對數的期望的相反數。我們知道，自然對數的泰勒展開為x各階矩的加權，即微分熵為變量x在泰勒展開下所有階矩的加權，考慮到的是x分佈的不確定性。不同方差的變量可以具有相同的微分熵。
Vermorken, Meddaand Schroder (2012)[2]首先以微分熵為基礎定義了分散熵（diversification delta），其基本思想很簡單：考慮組合的熵與熵的組合之間的差異。但是他們的定義不符合數學上的“良好”性質，即同質性（homogeneity）和可加性（subadditivity），甚至在某些情況下他們的分散熵可為負值。
我們使用的是Flores et al (2017)[3]修改下的分散熵定義，其滿足了良好的數學定義。假如一個變量組合P有N個變量。這個組合的分散熵（DD）可以定義為：
在這裡，H為之前定義的微分熵，為權重，從投資的角度，即為各類資產的權重。在本文中，我們使用各個國家的GDP佔比作為權重。
在實際計算微分熵的時候，我們不知道變量x的密度函數，因此我們將使用常見的非參方法k-d tree進行估計。具體來說，我們使用Stowell and Plumbley（2009）的k-d分割方法，該方法的計算速度較快，複雜度為O（NlogN）[4]。
下面以兩個變量的數值例子可以看到DD的良好性質：（1）相關性越大，分散熵越小；（2）權重越大（>50%），分散熵越小；（3）偏度越大，分散熵越小；（4）凸度越大，分散熵越小。並且，越高的階矩對於分散熵的影響越小。
注：
[1]Singer, J. David, Stuart Bremer, and John Stuckey."Capability distribution, uncertainty, and major power war,1820-1965." Peace, war, and numbers 19 (1972): 48.
[2]Vermorken, M, F. Medda, and F. Schroder. “The Diversification Delta: AHigher-Moment Measure for Portfolio Diversification” The Journal of PortfolioManagement, Vol. 39, No. 1 (2012), pp. 67-74.
[3]Flores, YuriSalazar, et al. "The Diversification Delta: A Different Perspective."The Journal of Portfolio Management 43.4 (2017): 112-124.
[4]Stowell Dan, M Plumbley. “Fast multidimensional entropy estimation byk-d partitioning.” IEEE Signal Processing Letter, Vol 16, No. 6, June 2009.
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