1
一個梗
是由胡軍主演的電視劇《朱元璋》中的一句臺詞，
在劇中，
郭子興的兒子郭天敘，
對郭子興說喜歡郭子興的義女，
也就是他自己的義妹：馬姑娘（歷史上的馬皇后）。
郭子興生氣地給了他幾個巴掌，
並反駁：
“你那是喜歡嗎，你那是饞她的身子，你下賤！”
歷史上有很多的數學家，
他們愛好數學，
當然也有很多業餘學習數學的人，
也是非常愛好數學。
用上面的梗我們可以想象：
也許有一些人，
只是饞“悖論”的身子.
比如：1950年獲得諾貝爾文學獎的
英國文學獎羅素，
曾經提出過一個聞名於世的“羅素悖論”.
羅素悖論，也稱為理髮師悖論，書目悖論……
是羅素於1901年提出的悖論，
一個關於類的內涵問題。
羅素悖論當時的提出，造成了第三次數學危機。
悖論內容：設性質P(x)表示"x不屬於x"，
現假設由性質P確定了一個類A，A={x|x∉A}。
那麼問題是：A屬於A是否成立?
首先，若A屬於A，則A是A的元素，
那麼A具有性質P，由性質P知A不屬於A；
其次，若A不屬於 A，也就是說A具有性質P，
而A是由所有具有性質P的類組成的，即A屬於A
“理髮師悖論”的悖論內容一位理髮師說：
“我只幫所有不自己刮臉的人刮臉。”
那麼理髮師是否給自己刮臉呢？
“書目悖論”是羅素悖論的另一種通俗表達形式。
內容是：一個圖書館要編纂一本書，
其內容是列出該圖書館裡所有不列出自己
書名的書的名字。
那麼作為目錄的書該不該列出自己的書名？
2
悖論
我們先看下百科解釋
也即同一命題，
從不同角度推理，
卻能得到兩個相反的結論.
我們今天介紹三個不同角度的悖論。
準備好了嗎？
LET'S GO
3
巴拿赫-塔斯基悖論
這個悖論其實是個定理，
可以叫作“分球悖論”，
旨在推翻“選擇公理”.先介紹“選擇公理”
選擇公理
設C為一個由非空集合所組成的集合。
那麼，我們可以從每一個在C中的集合中，
都選擇一個元素和其所在的集合配成有序對來組成一個新的集合。
上面的解釋晦澀難懂，
它還有較為數字化的解釋：
如果C為{1，2，3，…}的所有非空子集的集合，
那麼，我們可以定義一個新集合，
使得它的元素為每一個在C中的集合的最小元素和所在集合配成的有序對.
如果還不能理解，
再看下面的例子：
如果在前面放了放置了幾堆蘋果。
那麼，我們可以在每堆中選取一個蘋果，
再把它們放在新的一堆內。
&
如果在前面放了放置了無限堆蘋果，
而每堆蘋果也有無限個。
那麼，我們可以在每堆中選取一個蘋果，
再把它們放在新的一堆內。
這個便是"選擇公理"。
看來也很合理，
既然每一堆也是有蘋果的，
當然可以在每一堆中選擇一個蘋果出來，
不論每堆的蘋果數目的多少，堆數的多少，
"應該"也能做到。
但在這堆蘋果中，
究竟選擇那一個呢?
或許有人會說:"隨便一個便可!"
但什麼是"隨便"呢?可否具體點陳述出來呢?
這個"隨便"的方法是否必然存在呢?
也就是說，
“選擇公理”是存在爭議的，
其中一個就是上面提到的
巴拿赫-塔斯基悖論
是在1924年，
由兩位波蘭數學家巴拿赫和塔斯基提出的。
定理指出：
我們有辦法將球體的一個數字表徵拆成許多碎片，
然後再用這些碎片組合出與原球體一樣大小的兩個球！
甚至，我們還可以把一個豌豆大小的球體分解後
重組成一個跟月亮一樣大的球體！
另一位數學家羅賓森
在1947年證明五片是組成球體的最低碎片的數量.
是不是覺得不可思議？
絕對不能從普通的角度去理解，
要從集合、映射、不同空間等等的角度去理解.
這項悖論顯示的是我們在現實環境中
測量的物體的特性，
比如一顆球，
一旦被數學家們按照定義分解為無限的點的集合，
再採用轉換、旋轉、平移等等方式重新組合後，
就可能變成另一個截然不同的物體.
這與“選擇公理”是不同的，
以致於人們懷疑“選擇公理”是否正確？
然而，
尷尬的是，
“選擇公理”在很多數學分支上是非常好用的，
很多數學家往往不動聲色地，
繼續使用它.
4
希爾伯特旅館悖論
發現自由落體規律的伽利略
曾經提出個困擾他的問題：
自然數和完全平方數，哪個數量多？
通常情況下，
整體數量是大於部分的，
完全平方數是自然數的一部分，
很明顯，
自然數比完全平方數要多，
可是我們發現：
1→1
2→4
3→9
4→16
……
每個完全平方數都與一個特定的自然數一一對應著，
那不就是一樣多了嗎？
這個問題直到200年後才由康托爾解決.
他從基本概念入手，什麼是一樣多？
只要兩個事物之間存在一一對應的關係，
那麼這兩個事物數量就是一樣的，
換成集合語言是：兩個集合中的元素存在一一對應，
那麼這兩個集合就相等.
另一位數學家希爾伯特也對無窮特別感興趣！
於是，希爾伯特悖論登場了！
這是一個包租婆的故事……
實際生活中的旅館，
無論多麼大，無論有多少房間，
一旦住滿了，再來客人只能拒之門外了，
客人們只有去別的旅館入住了。
那麼試想一下，
如果有一家旅館，有無窮多的房間，
房間的號碼從1,2,3,4……排列，
用盡了自然數.
現在客人住滿了，又來了一位，怎麼辦呢？
希爾伯特說：可以解決。
1號房間的客人去2號放間，
2號房間的客人去3號，
3號房間的客人去4號，……
依次類推，1號房間就空出來了.
原來的客人也都有地方入住了.
這個事情後來有了很多的演繹.
現在如果來看一批無窮多的旅客！
希爾伯特仍然可以妥善安排。
老住戶都進偶數號房，
1號去2號，2號去4號，3號去6號，4號去8號……
奇數號房間空出來了，
新住戶都進奇數號房.
就是新來的客人和自然數一樣多，
仍然住得下.
所以，無窮個房間和有限個房間就是這樣的不同，
可以說，
無論多少個旅客在希爾伯特的旅館裡都能得到房間休息
5
0.99999……=1嗎？
循環小數
0.9999……=1嗎？
證明方法1
設0.999……=x，
則9.999……=10x，
可得：9=10x-x，
解得：x=1，
即0.9999……=1
從數學方法及邏輯上，
這種方法是沒有絲毫問題的，
我們得到結論
0.9999……=1！
證明方法2
設0.999……中有m個9，
當m=1時，得0.9≠1，
當m=2時，得0.99≠1，
當m=3時，得0.999≠1，
……
當m=+∞時，得0.999……≠1，
即0.9999……≠1
用數學歸納法的方法，
我們得到結論：
0.9999……≠1！
這兩種方法都是現代數學中嚴謹的證明，
應該都是無懈可擊的，
而得到的結論卻是截然相反的！
不要懼怕出現悖論，
出現悖論是好事！因為：
每一個悖論的產生將推動數學前進！
首發於公 號【趣味數學故事】
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