數學除了是工程師的計算工具，物理學家的建模和解釋工具，是能夠單獨存在的，是具有智力審美價值的，不是僅僅只是一些數值計算和邏輯證明，更多的是對人類思想極限的挑戰。當然由於是瞎扯，就不能深入，而且這裡不能用數學符號，所以也無法具體介紹過程。

大學工科學習的所謂高等數學，其實還是初等數學，不過是學會了怎麼計算初等函數的微分（例如加速度，邊際效益等等）和積分（例如體積，面積，重量），也能用行列式解一次方程組，有的可能還能計算傅利葉變換等等，但是也只是掌握一點計算工具而已，大多數學生還是無法瞭解這些工具是怎麼構造的，是怎麼來的。

數學系的學生當然也要學習計算，但是在整個課程中佔的比例極少，可能不到5%，大多數時間，還是在學習如何構造工具現有工具的來龍去脈，但是更重要的是在培養一種精細的思維方式和邏輯結構框架，只有具備了這些思維方式和邏輯框架，人才能超越直覺和常識，進入一種抽象的審美境界（當然達到這個境界的人不多，因為達到了，就是大數學家了）。

下面瞎扯一點基於數學系學生的角度瞭解的現代數學基礎。

數學是什麼？

我們在中學，學習的數學定義是：數學是研究空間形式和數量關係的科學（也即數學是研究客觀規律的科學），其實這個定義是不對的，柯朗就認為數學不能通過語意學定義。

我不認為數學是一種技術（當然可以作為計算工具和計算技術），也不是一門科學（當然可以作為物理學，化學，生物學等等科學的工具存在），數學是獨立於所有學科的一個存在（獨立於哲學，科學，文學，藝術等等）。舉例來講，很多學科的基礎定理或原則，如果不存在人，可能就不存在，因為依賴於人的參與，甚至物理學也是如此，沒有人的觀測，物理學的基礎可能就不存在，但是數學不同，例如π這個常數，不管是不是有人，甚至是不是有地球，有時間，有宇宙，都是存在的。

所以我認為數學更是一種人類認識世界的思想和一種思維方式。這種思維方式的特殊性在於他不是實證的，也不是形象類比的，而是基於邏輯的高度抽象，其概念完全可以沒有任何現實背景，而僅僅是語義上的概念或憑空定義的概念，完全可以脫離現實而獨立存在。

法國數學家普洛克魯斯（P roclus）認為數學是：她提醒你有無形的靈魂；她賦予她所發現的真理以生命；她喚起心神，澄淨智慧；她給我們的內心思想添輝；她滌盡我們有生以來的矇昧與無知。

康託的樸素集合論

現代數學的基礎是集合論。

現代數學不管是分析、幾何、代數，還是其他專業，其基礎就是集合論。因為現代數學基礎語言、基礎結構和基礎表達方式就是集合。

樸素集合論是德國數學家康託(G.Cantor)於19世紀末創立的。

康託創立集合論，是基於解決微積分的邏輯基礎問題（微積分的邏輯基礎問題以後有機會介紹），為了使微積分裡面採用的無窮小概念有一個清晰的邏輯基礎，康託開始定義實數點集，並在上面定義了算法，進一步對其性質就行研究，把成果在發表在1874年的《克雷爾數學雜誌》上，這一系列論文是奠定現代數學基礎的革命性成果。

康託要做這個工作，是因為不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論邏輯上都是不嚴格的，兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的（例如牛頓就認為它必須既是0，又不是0）。

貝克萊大主教對牛頓的理論進行了攻擊，其中就是貝克萊悖論（無窮小量究竟是否為0），其實本質就是有限與無限，無窮小與零，零與非零的邏輯矛盾。

由於無窮概念沒有精確的定義，微積分遇到嚴重的邏輯困難，19世紀初，法國數學家柯西企圖用極限概念來彌補這個缺陷。給出了極限的定義：若代表某變量的一串數值無限地趨向於某一數值時，其差可任意小，則該固定值稱為這一串數值的極限。並在極限這基礎上建立起連續、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。

但是，柯西並沒有徹底完成微積分的嚴密化，柯西的思想會產生邏輯矛盾。19世紀後期的數學家們發現使柯西產生邏輯矛盾的原因是奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念並沒有真正地擺脫幾何直觀，並沒有確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。

於是，許多大量的數學家開始致力於微積分的嚴格化，柯西之後，魏爾斯特拉斯，戴德金也做過類似工作，但是進展不大，責難不少。在這一過程中，他們都發現一定要涉及對微積分的基本研究對象----連續函數的描述，這是一個繞不過去的坎，因為在數與連續性的定義中，必須涉及無限集合這個概念。

因此，無限集合就成為數學嚴密化的攔路虎。所以為尋求微積分徹底嚴密的算術化，必須解決無限集合的性質，這成了集合論產生的一個重要原因。

對無窮小的最深刻責難是黎曼在1854年的就職論文《關於用三角級數表示函數的可能性》中首次提出唯一性問題：

如果函數f（x）在某個區間內除間斷點外所有點上都能展開為收斂於函數值的三角級數，那麼這樣的三角級數是否是唯一的？

函數可用三角級數表示，最早是1822年傅立葉提出來的。此後對於間斷點的研究，越來越成為分析領域中引人注目的問題，從19世紀30年代起，不少傑出的數學家從事著對不連續函數的研究，並且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康託最終建立集合論創造了條件。

1870年，海涅證明：當f（x）連續，且它的三角級數展開式一致收斂時，展開式是唯一的。海涅然後進一步證明：如果表示一個函數的三角級數在區間[-π,π]中去掉函數間斷點的任意小鄰域後剩下的部分上是一致收斂的，那麼級數是唯一的。進一步的問題是：當f（x）具有無窮多個間斷點時，唯一性能否成立？這個問題海涅沒能解決。海涅推薦康託來解決這個問題。

所以康託建立集合論的出發點問題是：任意函數的三角級數的表達式是否唯一？

為了給出最有普遍性的解，康託引進了一些新的概念。康托實際上就是就是通過對這個唯一性問題的研究，認識到無窮集合的重要性，並開始從事無窮集合的一般理論研究。直到康託利用實數集合建立了完整的實數體系，才完成了微積分的邏輯奠基工作。

在其後的三年中，康託先後發表了五篇有關這一題目的文章。康託先在1870年和1871年兩次在《數學雜誌》上發表論文，證明了函數f（x）的三角級數表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立。1872年他在《數學年鑑》上發表了一篇題為《三角級數中一個定理的推廣》的論文，把海涅的一致收斂的嚴酷條件推廣到允許間斷點是某種無窮的集合的情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然後引進了點集的導集和導集的導集等有關重要概念。康託1872年的論文是從間斷點問題過度到點集論的極為重要的環節，使無窮點集成為明確的研究對象。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，併為點集論奠定了理論基礎。

下面稍微介紹一下康託的工作。

康託對集合的定義：把若干確定的，有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合併起來，看作一個整體，其中各事物稱為該集合的元素（其實現代系統論定義系統也是基於康託對集合的定義，只是系統有目標）。

為了徹底解決無窮小的邏輯問題，康託29歲（1874）時在《數學雜誌》上發表了一篇論文《論所有實代數數集體的一個性質》。

在這篇論文中，康託的第一個要解決的問題是：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否把它們一一對應起來。1873年12月7日，康託寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來。這一天應該看成是集合論的誕生日。

康託的《論所有實代數數集體的一個性質》這篇文章1874年發表，提出了“可數集”概念，並以一一對應為準則對無窮集合進行分類，證明了如下重要結果：

> 一切代數數是可數的；

> 任何有限線段上的實數是不可數的；

> 超越數是不可數的；

> 一切無窮集並非都是可數的，無窮集同有窮集一樣也有數量（基數）上的區別。

上述結論的意思是：代數數集和有理數集是可數的和實數集是不可數的。這是一個超出直覺和想象力的結果。

為證明上述定理，康託假設了連續統公理（Cantor公理，後來被哥德爾證明與策梅洛選擇公理協調）。

連續統公理：無窮集合中，除了整數集的基數，實數集的基數是最小的。（實數集即直線上點的集合為連續統）

利用連續統公理，康託證明：任何一個集合的冪集(即它的一切子集構成的集合)的勢都大於這個集合的勢，人們才認識到無窮集合也可以比較大小。

自然數集是最小的無窮集合，自然數集的勢記作阿列夫零。康託證明連續統勢等於自然數集的冪集的勢。

是否存在一個無窮集合，它的勢比自然數集的勢大，比連續統勢小？這個問題被稱為連續統問題。

康托爾猜想這個問題的解答是否定的，即連續統勢是比自然數集的勢大的勢中最小的一個無窮勢，記作C1；自然數集的勢記作C0。這個猜想就稱為連續統假設。（這個假設後來得到證明）

這篇文章所用的方法是康託集合論。

康託的集合論是從定義一個元素o和集合A之間的二元關係開始的：若o是A的元素，可表示為o ∈ A。上述關係也可以用在集合和集合的關係。

另外一種二個集合之間的關係，稱為包含關係。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，則稱集合A為B的子集，符號為A⊆ B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定義，任一個集合也是本身的子集，不考慮本身的子集稱為真子集。集合A為集合B的真子集當且僅當集合A為集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。

數的算術中有許多一元及二元運算，集合論也有許多針對集合的一元及二元運算：

集合A和B的並集，符號為A ∪ B，是在至少在集合A或B中出現的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的聯集為集合{1, 2, 3, 4} 。

集合A和B的交集，符號為A ∩ B，是同時在集合A及B中出現的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集為集合{2, 3} 。

集合U和A的相對差集，符號為U A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相對差集{1,2,3} {2,3,4} 為{1} ，而相對差集{2,3,4} {1,2,3} 為{4} 。當集合A是集合U的子集時，相對差集U A也稱為集合A在集合U中的補集。

集合A和B的對稱差，符號為A △ B或A⊕B，是指只在集合A及B中的其中一個出現，沒有在其交集中出現的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的對稱差為{1,4} ，也是其並集和交集的相對差集(A ∪ B) (A ∩ B)，或是二個相對差集的聯集(A B) ∪ (B A)。

集合A和B的笛卡兒積，符號為A × B，是一個由所有可能的有序對(a,b)形成的集合，其中第一個是A的成員，第二個是B的成員。例如{1, 2}和{red, white}的笛卡兒積為{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}。

集合A的冪集是指是以A的全部子集為元素的集合，例如集合{1, 2} 的冪集為{ {}, {1}, {2}, {1,2} } 。

一些重要的基本集合包括空集（唯一沒有元素的集合），整數集合及實數集合。

1874年1月5日，康託給戴德金寫信，進一步提出下面的問題：

是否能把一塊曲面（如包含邊界在內的正方形）一意地映射到一條線（如包含端點在內的線段），使得面上每一點對應線上一點而且反過來線上每一點對應面上一點？（這是一個顛覆人類想象的結論，直觀說就是相當於太平洋的點與一根火柴的點一樣多）。

1877年6月20日，他給戴德金寫信，告訴他已經證明這個問題，信中說“我看到了它，但我簡直不能相信它”。這是一個更偉大的工作，實際上證明了一條線段上的點能夠和正方形上的點建立一一對應，從而證明了直線上，平面上，三維空間乃至高維空間的所有點的集合，都有相同的勢。

從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多。康託自己起初也是這樣認識的。但三年後，康託宣佈：不僅平面和直線之間可以建立一一對應，而且一般的n維連續空間也可以建立一一對應。這一結果是出人意外的。就連康託本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發現真理，避免謬誤。

這篇論文揭示了度量空間維數的本質，標誌點集拓撲的開始。

這個工作其實揭示的是集合論裡的核心難點：無窮集合這個概念本身。

從希臘時代以來，無窮集合很自然地引起數學家們和哲學家們的注意。而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對這種集合的理解沒有任何進展。早在中世紀，人們已經注意到這樣的事實：如果從兩個同心圓出發畫射線，那麼射線就在這兩個圓的點與點之間建立了一一對應，然而兩圓的周長是不一樣的。16世紀，伽俐略還舉例說，可以在兩個不同長的線段ab與cd之間建立一一對應，從而想象出它們具有同樣的點。

他又注意到正整數可以和它們的平方構成一一對應，只要使每個正整數同它們的平方對應起來就行了:

1 2 3 4 … … n … …

1 4 9 16 … … n2 … …

但這導致無窮大的不同的“數量級”，伽俐略以為這是不可能的.因為所有無窮大都一樣大。

不僅是伽俐略，在康託之前的數學家大多不贊成在無窮集之間使用一一對應的比較手段，因為它將出現部分等於全體的矛盾。高斯明確表態：“我反對把一個無窮量當作實體，在數學中是從來不允許的。無窮只是一種說話的方式… …”柯西也不承認無窮集合的存在。他不能允許部分同整體構成一一對應這件事。

但是康託認為一個無窮集合能夠和它的部分構成一一對應不是什麼壞事，它恰恰反應了無窮集合的一個本質特徵。對康託來說，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。它定義了基數,可數集合等概念。

既然n維連續空間與一維連續統具有相同的基數，於是，康託在1879到1884年間集中於線性連續統的研究，相繼發表了六篇系列文章，彙集成《關於無窮的線性點集》。其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數學成果，包括集合論在函數論等方面的應用。第五篇發表於1883年，它的篇幅最長，內容也最豐富。它不僅超出了線性點集的研究範圍，而且給出了超窮數的一個完全一般的理論，其中藉助良序集的序型引進了超窮序數的整個譜系。同時還專門討論了由集合論產生的哲學問題，包括回答反對者們對康託所採取的實無窮立場的非難。這篇文章對康託是極為重要的。1883年，康託將它以《一般集合論基礎》為題作為專著單獨出版。第六篇論文是第五篇的補充。

《一般集合論基礎》主要成果是引進了作為自然數系的獨立和系統擴充的超窮數，從內容到敘述方式都同現代的樸素集合論基本一致，所以該書標誌著點集論體系的建立。

《一般集合論基礎》，引進了無窮點集的一些概念，如：基數，勢，序數等，試圖把不同的無窮離散點集和無窮連續點集按某種方式加以區分。康託在這篇文章中的主要貢獻是引進超窮數。

為構造超窮數的序列。康託應用了以下幾條原則：

第一生成原則：從任一給點的數出發，通過相繼加1（個單位）可得到它的後繼數。

第二生成原則：任給一個其中無最大數的序列，可產生一個作為該序列極限的新數，它定義為大於此序列中所有數的後繼數。

第三（限制）原則：保證在上述超窮序列中產生一種自然中斷，使第二數類有一個確定極限，從而形成更大數類。

反覆應用三個原則，就得到超窮數的序列：

ω，ω1，ω2，…

利用先前引入的集合的勢的概念，康託證明第一數類（Ⅰ）和第二數類（Ⅱ）的重要區別在於（Ⅱ）的勢大於（Ⅰ）的勢。還給出了良序集和無窮良序集編號的概念，指出整個超窮數的集合是良序的，而且任何無窮良序集，都存在唯一的一個第二數類中的數作為表示它的順序特性的編號。康託還藉助良序集定義了超窮數的加法、乘法及其逆運算。

他另外一個重要工作是構造了實變函數論中著名的Cantor集。

康託集是一個無處稠密的完備集，簡單說康託集是個測度為0的集，直觀的解析幾何說法就是這函數圖像面積為0。

通過考慮這個集合，康託奠定了現代點集拓撲學的基礎。（實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康託集）。

最常見的構造康託集方法是取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由於在不斷分割捨棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，這就是康託集。

康託點集的極限圖形長度趨於0，線段數目趨於無窮，實際上相當於一個點集。操作n次後，邊長r=(1/3)^n，邊數N(r)=2^n，根據公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。

所以康託點集分數維是0.631。

康託集中有無窮多個點，所有的點處於非均勻分佈狀態。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形系統。

康託集具有：自相似性；精細結構；無窮操作或迭代過程；長度為零；簡單與複雜的統一。

康託集的出現，導致傳統幾何學陷入危機。用傳統的幾何學術語難以描述，它既不滿足某些簡單條件，如點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難於描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。

康託於1895年和1897年先後發表了兩篇對超限數理論具有決定意義的論文。在該文中,他改變了早期用公理定義(序)數的方法，採用集合作為基本概念。他給出了超限基數和超限序數的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個序列；規定了它們的加法，乘法和乘方。

但是集合論的內在矛盾開始暴露出來。康託自己首先發現了集合論的內在矛盾。他在1895年的文章中遺留下兩個懸而未決的問題：一個是連續統假說；另一個是所有超窮基數的可比較性。

他雖然認為無窮基數有最小數而沒有最大數，但沒有明顯敘述其矛盾之處。一直到1903年羅素髮表了他的著名悖論。集合論的內在矛盾才突出出來，成為20世紀集合論和數學基礎研究的出發點。

不過康託的集合論是數學上最具有革命性的理論，因為他精確定義和構造了數學的最基礎概念：無窮集合。

康託的集合論是人類認識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統和確定的運算。並從本質上揭示了無窮的特性，使無窮的概念發生了一次革命性的變化，並滲透到所有的數學分支，從根本上改造了數學的結構，促進了數學許多新的分支的建立和發展，成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎，還給邏輯學和哲學也帶來了深遠的影響。

康託的工作一開始是不受待見的，康託集合論的出現衝擊了傳統的觀念，顛倒了許多前人的想法，康託的成果超越了大多數人的想象邊界和常識邊界。

因為19世紀被普遍承認的關於存在性的證明是構造性的。你要證明什麼東西存在，那就要具體造出來。因此，人只能從具體得數或形出發，一步一步經過有限多步得出結論來。至於“無窮”，許多人更是認為它是一個超乎於人的能力所能認識的世界，不要說去數它，就是它是否存在也難以肯定，而康託竟然“漫無邊際地”去數它，去比較它們的大小，去設想沒有最大基數的無窮集合的存在。

反對康託最激烈的是德國數學大師克羅內克（Kronecker，康託的老師）。克羅內克認為，數學的對象必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象，他反對無理數和連續函數的理論，惡毒攻擊康託的無窮集合和超限數理論不是數學而是神秘主義。他說康託的集合論空空洞洞毫無內容，康託是精神病。

除了克羅尼克之外，龐加萊（Poincare）也說：“我個人，而且還不只我一人，認為重要之點在於，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當作一個有趣的“病理學的情形”來談，並且預測說：“後一代將把（Cantor）集合論當作一種疾病”。

外爾（Weyl）認為，康託關於基數的等級觀點是“霧上之霧”。克萊因（Klein）也不贊成集合論的思想。施瓦茲原來是康託的好友，但他由於反對集合論而同康託斷交。埃裡特·比修普駁斥集合論是“上帝的數學，應該留給上帝”。維特根斯坦特別對無限的操作有疑問。當羅素給出集合論的悖論出現之後，他們開始認為集合論根本是一種病態。

1884年，由於連續統假設長期得不到證明，再加上與克羅內克的尖銳對立，精神上屢遭打擊康託精神崩潰，神經分裂，住進精神病院，1918年1月6日在哈勒大學精神病院去世。不過偶爾恢復常態時，他的思想變得超乎尋常的清晰，繼續他的集合論的工作（他的很多重要工作都是精神病發病間歇期做出來的）。誰說數學家戰鬥力弱？

康託的集合論得到公開的承認是在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數學家大會上霍爾維茨（Hurwitz）明確地闡述康託集合論對函數論的進展所起的巨大推動作用，阿達瑪（Hadamard），也報告康託對他的工作的重要作用。

希爾伯特(Hilbert)高度讚譽康託的集合論“是數學天才最優秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國際數學家大會上，希爾伯特高度評價了康託工作的重要性，並把康託的連續統假設列入20世紀初有待解決的23個重要數學問題之首。

二十餘年後，集合論價值才得到認可。二十世紀初數學家們已經普遍認為從算術公理系統出發，只要藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者是可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函數）。從這個意義上說，集合論可以說是整個現代數學的基礎。

在1900年第二次國際數學大會上，龐加萊（這傢伙改正錯誤倒是快得很）就興高采烈的說：數學已被算術化了，我們可以說，現在數學已經達到了絕對的嚴格。

公理化集合論

在康託集合論得到認可的大好形勢下，也有不信邪的。傳說1902年英國數學家羅素（Russel）給康託寫了一封信：“在一個村莊裡住著一位理髮師，這位理髮師只給這個村莊裡那些不給自己刮鬍子的人刮鬍子，請問這位理髮師給不給自己刮鬍子呢？”（也即理髮師悖論），也即集合論是有漏洞的。其實不止羅素一人，當時很多數學家對數學的嚴密性是很懷疑的。

悖論的發現動搖了數學大廈的基礎。（後面我們會介紹集合論是現代一切數學以及相關科學理論的基礎）。

其實這種傳說有誇張行為，羅素的工作要嚴謹得多。羅素構造了一個所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合R，現在問R是否屬於R？

如果R屬於R，則R滿足R的定義，因此R不應屬於自身，即R不屬於R；

如果R不屬於R，則R不滿足R的定義，因此R應屬於自身,即R屬於R。

這樣,不論何種情況都存在著矛盾（為了使羅素悖論更加通俗易懂,羅素本人在1919年將其改寫為理髮師悖論）。

這樣建立在集合論基礎上的號稱“天衣無縫”，“絕對嚴密”的數學就陷入了自相矛盾之中，這就是數學史上的第三次數學危機。

儘管後來在希爾伯特（Hilbert）領導下，世界上第一流的數學家們進行了100多年的基礎彌補工作，但是直到今天，數學的基礎仍然是晃悠的，紮實基礎並未能完全建立起來。現在能夠做到的就是湊合：給集合論附加了一些公理，避免悖論矛盾（這就是公理化集合論）。

公理化方法,就是從儘可能少的無需定義的基本概念（例如集合論的基本概念只有集合（set），關係（relation），函數（function），等價（equivalence）等4個）和儘可能少的一組不加證明的原始命題（基本公理或公設）出發，應用嚴格的邏輯推理規則，用演繹推理得到基礎定理。

公理系統要求無矛盾性，完備性和獨立性。也即在公理系統中不能推出自相矛盾的結論，公理系統應儘可能多地推出這門科學中已經客觀存在的結論，最好是能推出全部的結論，要求基本公理不多不少，任何一條公理都不能從其他公理中推出來。

公理化的目的是在於通過一個演繹系統+基本概念+公理，獲得全部定理，確保學科的邏輯嚴謹。

公理化集合論是1908年德國數學家策梅羅（E.Zermelo）提出的，通過集合論公理化來消除悖論。他認為悖論的出現是由於康託沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的。策梅羅認為簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然，這就是現代數學裡面的ZF公理系統（除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如馮諾伊曼提出的NBG系統等）。

具體來說ZF公理系統包括（由策梅洛和A.A.弗倫克爾提出）外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離公理模式、替換公理模式、正則公理和選擇公理。

利用上述公理可以定義出空集、序對、關係、函數等集合，還可以給出序關係、良序關係、序數、基數，也可以給出自然數、整數、實數等概念。

在ZF公理系統中，集合的元素都是集合，自然數可用皮亞諾公理系統表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。

外延公理:一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。

空集合存在公理:存在一集合s，它沒有元素。

無序對公理:任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，而w∈z當且僅當w=x或者w=y。

並集公理:任給一集合x，可以把x的元素的元素彙集到一起，組成一個新集合。（對任意集合x，存在集合y，w∈y當且僅當存在z使z∈x且w∈z）。

冪集公理：任意的集合x，P(x)也是一集合（對任意集合x，存在集合y，使z∈y當且僅當對z的所有元素w，w∈x）。

無窮公理：存在一集合x，它有無窮多元素（存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，x∪{x}也是其元素。根據皮亞諾公理系統對自然數的描述，此即存在一個包含所有自然數的集合）。

替換公理：對於任意的函數F(x)，對於任意的集合t，當x屬於t時，F(x)都有定義（ZF系統中唯一的對象是集合，以F(x)必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對於所有的x屬於t，在集合s中都有一元素y，使y=F(x)。也就是說，由F(x)所定義的函數的定義域在t中的時候，那麼它的值域可限定在s中。

正則公理:也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況（對任意非空集合x，至少有一元素y使x∩y為空集）

選擇公理：對任意集c存在以c為定義域的選擇函數g，使得對c的每個非空元集x，g(x)∈x。

策梅羅的主要工作是引入了選擇公理。

下面重點介紹選擇公理（Axiom of Choice）：任意的一群非空集合，一定可以從每個集合中各拿出一個元素。

這是顯然的命題，就象平面內兩點確定一條直線易於理解。但是這個命題能演繹出一些超出人類直覺的結論,例如巴拿赫--塔斯基分球定理:

一個球，能分成五個部分，對它們進行一系列剛性變換（平移旋轉）後，能組合成兩個一樣大小的球。

下面直觀的來描述一下這個數學大廈基礎公理的價值。

沒有選擇公理很多問題將無解。假設我們要在N個批次的輪胎中每個批次抽一個出來送檢，如果N是有限的，顯然沒問題，但是如果N是無限的，比如N與無理數一樣多，怎麼辦？邏輯上就不可能保證每個批次能夠選出一個了，因為無窮大是無法排隊的，也就是沒法挨個選。而選擇公理告訴我們：可以選得出來。所以這個公理非常不平凡。

1904年，策梅羅通過選擇公理證明了良序定理。這個公理有極多的等價形式，例如代數中常用的佐恩引理（Zorn's Lemma），也被稱為庫那圖斯克-佐恩引理（Kuratowski-Zorn）（在任何一個非空的偏序集中，如果任何鏈（即一個全序子集）都有上界，那麼這個偏序集必然存在一個極大元素，可以證明與選擇公理等價）。

選擇公理的用途很大，許多學科的基本定理都依賴依賴於選擇公理才能成立。例如泛函分析中的哈恩-巴拿赫定理(關於巴拿赫空間上的線性泛函的可擴張性)，拓撲學的吉洪諾夫定理(關於任意多緊空間的直積為緊)；布爾代數的斯通表示定理，每個布爾代數皆同構於集代數；自由群論的尼爾森定理，自由群的子群也是自由的；拓撲學的Baire 綱定理；實分析（測度理論）的Lebesgue 不可測集的存在性 ；泛函分析的Banach--Steinhaus 定理 （一致有界定理）， 開映射定理， 閉圖像定理等等。其他還有許多定理，如果沒有選擇公理也不行。

現代數學中，基於集合論的基礎，有數學分析（Analysis）和抽象代數（Algebra）。至於微分幾何，代數幾何，代數拓撲和概率論等等，他們的基礎是數學分析和抽象代數，所以可以說，現代數學的基礎，就是集合論。

當然公理化的集合論也是形式語義學和程序理論的基礎，其實現在公理語義學是軟件開發工具的基本語言。

公理化集合論建立後，希爾伯特激動萬分，老淚叢橫：沒有人能把我們從康託為我們創造的樂園中趕出去。不過龐加萊認為一些基本問題並未獲得解決：公理化集合論，僅僅是為了防備狼，羊群用籬笆圍了起來，但不知道圈內有沒有狼。

龐加萊這次說對了，因為哥德爾（Godel）後來又證明完備的公理系統是不存在的，所以數學大廈的基礎仍然在晃悠，仍然需要修補。

順便補充一句，ZF如果另加選擇公理（AC），則所得的公理系統簡記為ZFC。現在已經證明，ZF對於發展集合論足夠了,它能避免已知的集合論悖論，並在數學基礎研究中提供了一種方便的語言和工具。在ZF中，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言表達，數學定理也大都可以在ZFC內得到形式證明，因而作為整個數學的基礎，ZFC是完備的，數學的無矛盾性可以歸結為ZFC的無矛盾性。

選擇公理和連續統假設有重要地位，是集合論中長期研究的課題。選擇公理成為數學史上繼平行公理之後最有爭議的公理，連續統假設是1878年康託提出來的，簡單的說，就是關於直線上有多少點的問題。

1938年，哥德爾證明了：從ZF推不出選擇公理的否定，從ZFC推不出連續統假設的否定，即選擇公理對於ZF，連續統假設對於ZFC是相對無矛盾的。1963年，科恩證明了選擇公理對於ZF,連續統假設對於ZFC的相對獨立性,即從ZF推不出選擇公理,從ZFC推不出連續統假設。綜合這兩個結果,得出選擇公理在ZF中,連續統假設在ZFC中都是不可判定的。

布爾巴基的數學結構

數學界另外一座公理化的高峰是法國布爾巴基學派（Bourbaki）的工作，這個是必須介紹的，沒法繞過去。

布爾巴基主要成就就是編寫了多卷集的《數學原理》（超過40冊），這是一部影響現代數學格局的偉大著作。

《數學原理》這本書是基於公理化基礎+數學結構概念來寫的，下面先介紹他們的公理化基礎。

前面我們說過，數學的“公理化體系”（Axiomatic Systems）是由一組公理（Axioms）與相關定義（或規定，即Definitions）構建起來的一種邏輯演繹體系（也叫”數學結構“）。當這種數學結構是客觀現象的“模型”時，基於這種數學結構的的邏輯推理能夠提供關於這種客觀現象的理解（洞察）與預測。

布爾巴基將空集合（Empty Set）用”Ǿ”表示，定義自然數：數字0=Ǿ（空集本身），1={Ǿ}空集作為集合的元素），2={Ǿ，{Ǿ}}，3={Ǿ，{Ǿ}，{Ǿ，{Ǿ}}}，4={......}}}}（注意，這裡有4個“}”右括號），因此存在順序關係：0≤1，1≤2，2≤3，......和包含關係0∈1，1∈2，2∈3，......（符號“∈”是包含在內的意思，即前者是後者的元素，前者包含在後者的裡面）。

根據上述定義，我們有了自然數系N，整數系Z，加上定義的加法，和乘法，就繼有了有理數系Q，實數系R，以及超實數系*R（注意：星號“*”必須打在實數系R符號的左上方，這是非標準分析的規矩。超實數系*R 裡面包含有“無窮小”）。至此，我們有了各種數系。

布爾巴基的公理系統很複雜，下面只簡單介紹一下實數系的公理系統：

代數公理：

A. 封閉律：0與1 是實數。如果a與b是實數，則a+b，ab以及 -a均為實數；

B. 交換律：a+b = b+a ab = ba；

C. 結合律：a+(b+c) = (a+b)+c a(bc) =(ab)c；

D. 單元律：0+a = a 1a = a；

E. 逆元律：a + (-a) = 0 ， a 1/a = 1 (a≠0)；

F. 分配律：a(b + c) = ab + ac；

定義：正整數是：1，2=1+1，3 =1+1+1，4=1+1+1+1，......

次序公理：

A. 0 < 1；

B. 傳遞律：如果a < b以及b < c，則a < c；

C. 分配律：a < b a = b 或 b < a，其中只有一個式子成立；

D. 加法律：如果a < b 則a+c < b+c；

E. 乘法律：如果a < b，而且0 < c，則ac < bc；

F.. 求根律：如果a > 0，對於任意正整數n，存在一個實數b，使得b的n次方等於a；

完備公理：

如果A為實數集合，其中x，y屬於A，而且x與y之間的任何實數均屬於A，則A為一個實數區間。

然後布爾巴基在各種數繫上引入不同的公理系統與相關概念的“定義”，使其成為不同的“數學結構”。例如布爾巴基利用實數系R構建“連續統”（Continium，物理量的模型），其實就是數學上的“實數軸”。再進一步構建平面座標系（即座標平面），再進而構建三維空間，......，等等。

簡單點說，布爾巴基認為現代數學就是空集Ǿ的邏輯延伸物（也即無中生有，與中國道家的無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八方，八方生萬物是一致的）。

再說說結構。布爾巴基認為數學是研究抽象結構的理論。

結構就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布爾巴基認為只有三種基本的抽象結構：有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。他們把全部數學看作按不同結構進行演繹的體系。

用實數舉例，實數可以比較大小，也就是定義一個元素x小於或等於另一個元素y，比如記為xRy。它滿足一些公理：

1、對任何x，xRx；

2、由xRy和yRx可以推出x=y；

3、xRy且yRz推出xRz。

滿足這組公理的集合就被稱為有序結構。

同樣，實數可以加減乘除（除數不為0），所以它們滿足域公理，這就是代數結構。

實數還有鄰域、開集等等概念，由此可以引出極限、連續等等概念，這就是拓撲結構（即滿足拓撲空間的公理）。

有些集合只有一兩個結構，比如：素數集合只有序結構；整數集合沒有拓撲結構；矩陣只有代數結構。

數學結構是布爾巴基學派的一大重要發明。這一思想的來源是公理化方法，布爾巴基反對將數學分為分析、幾何、代數、數論的經典劃分，而要以同構概念對數學內部各基本學科進行分類。他們認為全部數學基於三種母結構：代數結構、序結構、和拓撲結構。

所謂結構就是“表示各種各樣的概念的共同特徵僅在於他們可以應用到各種元素的集合上。而這些元素的性質並沒有專門指定，定義一個結構就是給出這些元素之間的一個或幾個關係，人們從給定的關係所滿足的條件（他們是結構的公理）建立起某種給定結構的公理理論就等於只從結構的公理出發來推演這些公理的邏輯推論。”

於是一個數學學科可能由幾種結構混合而成，同時每一類型結構中又有著不同的層次。比如實數集就具有三種結構：一種由算術運算定義的代數結構；一種順序結構；最後一種就是根據極限概念的拓撲結構。

三種結構是有機結合在一起的，比如李群是特殊的拓撲群，是拓撲結構和群結構相互結合而成。

因此布爾巴基著作中，數學的分類不再象過去那樣劃分成代數、數論、幾何、分析等部門，而是依據結構的相同與否來分類。比如線性代數和初等幾何研究的是同樣一種結構，也就說它們“同構”，可以一起處理。這樣，他們從一開始就打亂了經典數學世界的秩序。

布爾巴基說：從現在起，數學具有了幾大類型的結構理論所提供的強有力的工具，它用單一的觀點支配著廣大的領域，它們原先處於完全雜亂無章的狀況，現在已經由公理方法統一起來了。由這種新觀點出發，數學結構就構成數學的唯一對象，數學就表現為數學結構的倉庫。

基於結構的思想，布爾巴基把代數拓撲學、同調代數、微分拓撲學、微分幾何學、多復變量函數論、代數幾何學、代數數論、李群和代數群理論、泛函分析等數學領域匯合在一起，形成一個整體。

布爾巴基認為，數學主要考慮抽象的數學結構，強調考慮的是對象的集合之間的關係，而對對象（元素）究竟是數、是形、是函數還是運算並不關心；只考慮抽象的數學結構，不關心對象具體是什麼。這與經典數學關心具體的數學對象是大不相同的。

“數學家研究的不是客體，而是客體之間的關係。”他們感興趣的對象是某些“集合”的“元素”以及它們之間的某些“關係”。

布爾巴基的結構數學在方法論和認識論上都有重要意義，一方面，從適當選定的少數公理能夠得出在證明中特別有用的大量結論；另一方面在極為豐富多彩的數學對象中能夠識別出這些結構，結果把它所帶給自己的工具變成整個數學工具庫的一部分。並且，數學結構是分成層次的，代數結構（如李群、群、環、域等）、拓撲結構（如拓撲空間等）、序結構（如偏序、全序、格等）是比較基本的3大類結構。兩種或多種結構可以複合而成更復雜的結構，它們之間通過映射或運算聯繫在一起；兩種或多種結構還可以同時出現在同一集合上，它們之間通過一定關係彼此相容，形成多重的結構；多重結構經過組合，就形成更為複雜的結構。

這樣數學家的工作濃縮為要著重解決兩大問題，一是對於某種類型的結構把不同構的結構加以分類；二是兩種結構何時看成是同構的。

他們認為只有抽象和綜合才真正導致了本來就很特殊的情況和經常掩蓋著事情本質的那些現象的消失，才能夠弄清楚外表完全不同的問題之間的深刻聯繫；進而弄清楚整個數學的深刻的統一性。例如最早被認識和研究了的結構，是由伽羅華（Galois）所發現的‘群’的結構。

布爾巴基學派產生的原因是在1914年到1918年的第一次世界大戰中，法國年輕的優秀數學家們有三分之二參軍上戰場犧牲。所以一戰結束後，法國數學已經嚴重落後於歐洲和世界，因為數學是個年輕人的行業，法國活下來的數學家都是老頭子，他們水平還停留在20年前，對現代數學的發展一無所知，例如對莫斯科拓撲學派和波蘭的拓撲和泛函分析學派一無所知，也不理解馮·諾依曼和黎茲的工作，對阿廷（Artin，抽象代數奠基人之一）、諾特（Noether，一般理想理論）所創立的抽象代數學，西格爾（Siegel）和海塞（Hasse）在任意代數數係數的二次型研究上獲得重要結果，範。德。瓦爾登（Waerden）劃時代的著作《近世代數學》，希爾伯特的泛函分析，巴拿赫的線性算子理論，蓋爾範德、豪斯多夫等人的微分拓撲和代數拓撲，另外李群、李代數、代數數論、代數幾何、現代分析（由泛函分析所推動分析）、和廣義函數論、偏微分方程理論上巨大的突破都一無所知（其中代數拓撲學和微分拓撲學被稱為現代數學的女王），還是隻在函數論這個法國傳統領域做道場，而且對法國自己的e·嘉當的工作也不理解（超出他同時代人的水平20多年）。而這個時候，德國數學突飛猛進，湧現了一批第一流的數學家，例如諾特、西格爾、阿廷、哈塞等等。當時法國最年輕一代數學家，例如韋伊、H.嘉當、讓·迪多內、薛華荔、塞爾、格羅登迪克等人（這些人就是布爾巴基的第一代核心成員），不滿足於法國數學界的現狀，認識到了法國數學同世界先進水平的差距，他們認為必須改革法國數學，不然世界就會忘掉法國數學，使法國的二百多年大師輩出的傳統中斷，這就是產生布爾巴基學派的原因。

一般把傳統模型數學稱為第一代 ，結構數學稱為第二代，布爾巴基寫的《數學原理》創造了第二代數學。這套書有七千多頁，是有史以來篇幅最大的數學鉅著，包含了集合論、代數學、一般拓撲學、一元實變量函數、拓撲向量空間、積分論、交換代數學、微分簇及解析簇、李群和李代數、譜理論等卷，把代數拓撲學、同調代數、微分拓撲學、微分幾何學、多復變量函數論、代數幾何學、代數數論、李群和代數群理論、泛函分析等數學領域整合在一起成為一個整體，而不是各個專業。其實布爾巴基初衷只是撰寫一本用於教授微積分的教材，並以此取代當時法國較為流行的分析教材，不想搞成一座摩天大廈。

《數學原理》的各分冊都是按照嚴格的邏輯順序來編排的。在某一處用到的概念或結果，一定都在以前各卷、各分冊中出現過。全書特點是簡潔而清晰，論述和證明都沒有廢話。所以《數學原理》能夠成為標準參考書，並且是戰後的數學文獻中被人引用次數最多的書籍之一。

20世紀中期，世界數學界是布爾巴基集體的寡頭統治的時代，在二戰後的十幾年間，布爾巴基的聲望達到了頂峰，使法國數學在第二次世界大戰之後又能保持先進水平，而且影響著整個現代數學的發展。《數學原理》成為新的經典，經常作為文獻徵引。布爾巴基討論班的成果就是當時世界數學的最新成果。不過數學是年輕人的科學，所以布爾巴基成員50歲退休。

1970年左右，布爾巴基比較忽視的分析數學、概率論、應用數學、計算數學，特別是理論物理和動力系統理論開始蓬勃發展，而他們熟悉的代數拓撲學、微分拓撲學、多復變量函數論等相對平穩，數學家的興趣更集中於經典的、具體的問題，而對於大的理論體系建設並不熱衷，數學研究更加趨於專業化、技術化，在這種情況下，20世紀70年代以來，在論文中引用布爾巴基《數學原理》的人越來越少了。布爾巴基終於進入黃昏。

不過後來的數學重大進展，例如莫德爾猜想的證明、費馬大定理證明，橢圓曲線是模曲線的完全證明等等都是布爾巴基數學的開花結果。在1980年以後出現的非交換幾何、量子群理論、M.Gromov的群論和辛幾何也少不了布爾巴基結構數學的框架。

希爾伯特說過“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。”康託也說過，“問題是數學的心臟”。而會提重要的或有價值的問題，按照陳省身說法，需要審美能力。

中國數學家目前最大問題是沒有提有價值問題的能力。

華羅庚說過，問題提得好，就解決一半。很多大數學家，例如陳省身，吳文俊，丘成桐，陳希孺等人，很欣賞在課堂上提好問題的學生，吳文俊先生甚至會讚不絕口：你真的是一個好問題，好問題，多遍重複後，有時會邀請提問題學生上講臺與他共同商量解決問題，讓學生在黑板上解釋自己想法。陳希孺先生甚至會在黑板上開始企圖解決學生的問題，直接展示大師是如何做研究的過程。

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