歐拉恆等式被稱為數學中最美麗的公式之一，它把數學中幾個看似沒有聯繫的數：圓周率π、自然常數e、虛數單位i、0和1 結合到了一個式子中。
當小見第一次看到這個式子時雖然一臉懵逼，但還是被它的完美震撼到了。它的推導過程對學過微積分的人來說不太困難，其實要證明歐拉公式，在你沒有高等數學知識的情況下是幾乎不可能的。對於沒學過冪級數的人來說，首先要知道一個初等函數展開定理，一個函數f（x）如果是一個初等函數（就是中學階段學過的所有函數），且在x=0處鄰域（-r，r）內存在任意階導數，那麼f（x）在x=0處可以展開成冪級數，展開式為：
看不懂？沒關係，這裡只是介紹一下初等函數的展開定理。就是通過這個定理可以把冪函數e^x和三角函數sinx、cosx展開成冪級數：
這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，它們都是泰勒公式的一種特殊形式。雖然讀者可能看到這裡不懂得為什麼，但你只要知道這三個式子是通過上面的初等函數展開定理得來的就行了，不必自己算。當e的指數x替換成ix，即實數變量變成了純虛數變量時，可寫出：
所以結合虛數單位和上面的正餘弦函數展開式得到一般形式的歐拉公式：
當x=π時，因為cosπ=-1，sinπ=0，所以就這樣在沒有利用高等數學中微積分知識和複平面圓周運動知識的情況下便證明出了歐拉恆等式：
好，那最後小見有個問題：當x=π/2時，你發現了另一個特別的恆等式嗎？與前者在複平面有怎樣的幾何關係呢？歡迎評論留言。
分享到:
閱讀更多 WE見首不見尾之姬雲星 的文章
