中國科學院大學科學技術史博士研究生 周芃君
從丁小平先生在第四屆世界數學科學大會發表《淺談現行微積分原理的錯誤》和《新微積分原理簡介》算起，至今已有九年。這九年中，丁小平先生一直通過發表論文和講學等方式揭示現行微積分原理的錯誤，同時，講授他的新微積分原理，到目前為止，不瞭解他的學術結論的數學家已經寥寥無幾，但公開支持他學術結論的不多，試圖駁倒他的一個都沒有成功，而私下支持他學術結論的卻比比皆是。筆者試從科學史角度談談自己對丁小平研究工作的淺見。
丁小平先生回母校清華大學參加校慶時與同學合影
微積分的歷程
牛頓和萊布尼茲，分別在1665年和1673年獨自創建微積分方法體系並建立各自的微積分原理，其結果是：微積分方法放之四海而皆準，但微積分原理始終不能自圓其說。在牛頓的微積分原理中，由於構造流數(即導數)的需要，牛頓人為地引入小量，可是，當流數構造出之後，牛頓又覺得流數後的小量或的組合項是個麻煩，於是，牛頓又人為地將它捨棄。邏輯學告知世人，如果一個量無論多小都得引入，那它就不可以忽視;如果一個量小得可以忽視，那它就不必引入。據此，基督教北愛爾蘭大主教貝克萊嘲笑牛頓的“”是幽靈。在萊布尼茲的微積分原理中，萊布尼茲定義兩個要多近就可以多近的變量的差為微分，微分的逐點累加就是積分(將積分區分為不定積分與定積分是多餘的)，積分的微化就是微分，導數就是因變量與自變量的微分之比。萊布尼茲微積分原理的不足在於說不清“要多近就可以多近”究竟是多近。
1821年至1823年，法國數學家柯西分別出版了他的《分析教程》和《無限小計算教程概論》，以此為標誌，人類建立起第一個微積分原理。後來，又經過黎曼、維爾斯特拉斯和達布等數學家的完善，我們現行的微積分原理宣佈大功告成。柯西系的微積分原理本質上就是用極限論處理掉項的牛頓系的微積分原理，但在解釋不了豐富多彩的微積分方法為什麼行之有效時又只好把萊布尼茲的微分拼湊進去。
可是，1875年數學家託梅對現行微積分原理提出挑戰。繼託梅的直尺函數之後，原點左右無限震盪函數和越接近原點越無限次震盪衰減函數等相繼登場，從此，微積分原理再次進入危機之中。如果我們稱貝克萊對牛頓的質疑為微積分原理的第一次危機的話，那麼，這次危機稱之為微積分原理的第二次危機。微積分原理第二次危機的化解是法國數學家勒貝格在1902年通過他的《積分，長度和麵積》一文完成的，文中有兩個核心思想，即後人所說的“勒貝格測度”和“勒貝格積分”。
如上就是現今的微積分歷程。
微積分歷程所引發的思考
微積分方法的行之有效早已為實踐所證明，無需再做理論上的證明，可是誠如馬克思指出：“這種算法通過肯定不正確的數學途徑得出了正確的結果。”那麼，為什麼不正確的途徑可以得出正確的結論呢?為什麼微積分方法行之有效呢?以及如何優化已有微積分方法和怎樣再揭示更多的微積分方法?這些問題就是微積分原理所要完成的任務。
不管從1665年算起，還是從1673年算起，也不管牛頓和萊布尼茲的微積分原理是否無法自圓其說，在牛頓和萊布尼茲之後微積分方法得到迅猛發展確是鐵的事實，截止1821年，微積分方法發展得幾乎與現今毫無二致。在微積分方法的發展中，做出主要貢獻的是伯努利兄弟、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉和高斯，其中貢獻最大的是歐拉。從師承脈絡上看，伯努利兄弟是萊布尼茲的朋友和學生，而歐拉又是伯努利兄弟的學生。相反，繼泰勒建立泰勒公式以後，“英國數學陷入長期的停滯狀態……他們不能擺脫牛頓微積分學說中弱點的束縛。”通過這些歷史事實不知是否可以得出這樣的結論：微積分方法的迅猛發展主要得益於萊布尼茲的思想，與柯西用極限論建立的牛頓思路的微積分原理關係甚遠。1821年以後，已有的微積分方法基本上沒有得到優化，新的微積分方法也沒有再得到揭示;另一方面，微積分方法並沒有揭示窮盡，比如，到現在人類也解不了大多數的微分方程。據此，人們似乎可以懷疑現行微積分原理的存在價值。
極限思想的首倡者是英國數學家J.沃利斯。極限方法的意義在於可以處理掉導數後多餘小量或的組合項，也可以定義定積分。一句話，可以規避過程直面結果。也正因為如此，極限論下的積分無法逐點累加，也無法給出導數的瞬時比形式。這就應該是為什麼現行微積分原理對以託梅為代表的數學家提出的挑戰沒有辦法的原因。勒貝格似乎解決了這個問題，但細細想來，勒貝格積分不過是實現了積分中的角色對調，僅僅是規避了問題，相反，勒貝格測度論也存在邏輯上的問題。
勒貝格測度中存在的邏輯問題可以從兩個方面加以說明：第一，無理數是測度的數學承擔者與超越數是測度的數學承擔者的說法是相互矛盾的，即使退到貝爾的第一類集合這種解釋也不能自圓其說，因為超越數在解析幾何意義上與其它數一樣，其它數沒有測度，超越數也同樣沒有測度。第二，勒貝格測度是用排除法建立的，它的思路是：區間有測度，代數數的測度為0，所以，超越數是測度的數學承擔者。這種排除法使用的錯誤在於忘記現行數-形模型中兩個數(點)之間是有空隙的，未排除空隙。
丁小平所做工作可能具有的意義
首先，丁小平先生指出現行微積分原理中微分概念引入的錯誤，以及由此引發微積分原理的系統性錯誤，並以重新定義微分的方式反襯這一錯誤。不知是否可以這樣認為，丁小平指出的現行微積分原理中微分的錯誤恰好是微積分發展史中極限思想與微分思想相牴觸的產物。極限論自然有它自己的數學意義，但是，用極限論建立微積分原理並不見得可取。
其次，丁小平先生指出現行微積分原理整體結構的扭曲，並重新設定結構，這種結構與萊布尼茲的思想是一致的。
又次，丁小平先生建立的新數-形模型，糾正了傳統模型的惡無限缺陷，實現了數模型與形模型的統一，為蓄積多年的數學革命的發生提供了條件。這其中，有兩個重要方面：第一，建立了Werden(發生)概念，糾正了傳統數模型的一會兒是動態的一會兒是靜態的自相矛盾性，形成了靜中有動新模型，使得數學得以實現動態描述;第二，指出代數數和超越數都承擔不了測度，測度只能由Werden承擔。
再次，丁小平先生的新微積分原理用事實證明萊布尼茲思路的微積分原理是完全可行的，可以認為這使數學史上爭議了246年的問題終於畫上了句號。
最後，丁小平的新微積分原理實現了數學上的逐點描述，比如微分的數學承擔者、導數的瞬時比形式、積分逐點累加等等，其中微分的數學承擔者問題不僅解決了數學自身的問題，也使得諸如虛位移原理等自然科學的核心問題得以解決。
新微積分原理的建立，必將引發微分幾何、微分方程和泛函分析等學科的迅猛發展，從而引發科學技術的全面進步。
丁小平所解決的是自牛頓以來數學界歷時354年尚未解決的問題。如這項研究成果成立，無疑將是人類科學界的重大原始創新。這不僅可為我國科技發展提供基礎指導，也必將給中華民族帶來殊榮!
--推廣
閱讀更多 格物心明 的文章
