楊振寧論數學和物理的關係

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作者簡介：厚宇德(1963- )，男，黑龍江明水人，山西大學科學技術史研究所教授，研究方向為科學技術的人文研究。

人大複印：《科學技術哲學》2019 年 06 期

原發期刊：《自然辯證法通訊》2019 年第 20192 期 第 38-42 頁

關鍵詞: 數學與物理學 纖維叢理論 規範場理論

摘要: 本文基於楊振寧的相關著述和作者對他的訪談，評述其闡釋數理關係時常用的雙葉圖的寓意，對比說明他多次解釋雙葉圖時所表述含義的微妙差異。楊振寧認為，對待各自的研究成果數學家和物理學家的心理感受完全不同。面對數學的神奇作用，楊振寧與愛因斯坦都產生了十分類似的思想意識，本文詳細比較並解讀了兩位物理巨人的相關思想。離開數學理論物理學家會束手無策，那麼理論物理學家可否首先在數學上充分武裝自己，然後再展開物理學的研究生涯呢？楊振寧對此的回答是否定的。

作為一位理論物理大師，楊振寧能夠在自己的研究工作中敏銳發現物理學前沿問題蘊含的數學結構；他在研究物理問題時創立的數學方法與取得的數學成果，促進了20世紀數學的發展。楊振寧指出，“楊-巴克斯方程雖然在物理學中有所應用，但是它對於數學的影響更加巨大。它現在發展得很厲害，在數學領域可謂五花八門，裡頭的東西有點像數學裡的李群。但對它的瞭解還沒像對李群的認識那樣清晰，李群的總體結構已經很清楚，在數學裡佔極為核心的重要地位。” 楊振寧對數學和物理學以及二者之間的關係，有很多獨到的思索和感悟，並在其著述及學術報告中，多次闡述自己的觀點和態度。這一定意義上說明他對數理關係之奧妙的好奇，以及對這一問題的特殊重視。

一、藉助雙葉圖闡釋數理關係

20 世紀物理學的發展使物理學家逐漸認識到，離開數學的支撐，物理學將舉步維艱、寸步難行。另一方面，理論物理學家研究最基本的、最原始問題時取得的突破性研究成果，往往包含對數學發展有建設意義的、有啟發作用的思想方法。楊振寧對此深有體會，數學與物理學二者的關係成為長期縈繞在他思想中的一個問題。從美學的角度，楊振寧認為：“物理學——當然包括理論物理學——中的許多美是與數學中的美的觀念緊密相關的。”[1] 但就具體內容而言，他更強調二者之間大異小同的事實。1979 年他對此作了較為明確的描述。[2]在他看來，數學和物理學之間，除了有若干共同的最基本的概念外，一致性的東西不多；二者之間更多的是不同：目標取向不同、情感好惡不同、研究傳統不同、價值觀念不同、主體內容不同。深入辨析和體會不難發現，楊振寧所說的數學與物理的諸多不同，有些實質所指是數學家與物理學家之間的差異，比如不同的情感好惡等。在此之後楊振寧為進一步形象地表達他的這一認識，描繪出著名的雙葉圖。1980年1月在香港大學的演講中，楊振寧藉助雙葉圖，再次闡述他關於數理關係的觀點：“在基本概念的水平上，它們令人驚異地共同使用某些概念，但即使在這裡，每一方面的生命力是沿著各自的脈絡奔流的（見圖 1）。”[3] 據本文作者的初步瞭解，這是楊振寧第一次用雙葉圖闡釋數理關係。

圖1 1980年繪雙葉圖

在1997年的文章中，楊振寧仍然藉助雙葉圖說明數理關係，並對圖中雙葉重疊的那一小部分，即數學與物理學相同或相似的部分，以及雙葉彼此不同部分的內涵做了更深入的辨析性說明，具體指出重疊部分包括微分方程、偏微分方程、希爾伯特空間、黎曼幾何和纖維叢等，但是強調物理學家和數學家達成這樣的“共識”或思想融合所經過的是殊途同歸的道路，而更多不是同心協作的結果。雖然這些重疊領域對於物理、對於數學都很重要，楊振寧依然相信並肯定：“重疊的地方並不多，只佔二者各自的極少部分。譬如實驗（1）與唯象理論（2）都不在重疊區，而絕大部分的數學工作也在重疊區之外。”（[3]，p.849）這一詮釋簡明扼要、清晰透徹，認為數學與物理在最早的、最原始的部分同脈同源；但是因為二者有不同目標和價值取向，在其後的發展過程中，主體發展態勢是漸行漸遠。

楊振寧還一貫認為，雙葉圖中重疊的部分不是固化的，而是隨著物理學和數學的發展，雙葉逐漸“長大”的同時，其重疊面積呈擴大之趨勢。有理由相信，在楊振寧的思想中，這種重疊區域的變動並非僅僅是因為數學或物理學各自獨立發展並跨界使然，而是數學和物理學本質上互為重要發展源動力的關係使然。在 1993 年的一篇文章中，楊振寧較為詳盡地表達了這一思想：“交疊的面積只是每個學科的一小部分，或許僅有百分之幾。例如，實驗物理學就不在交疊的區域中，雖然它代表物理學中一大塊研究領域。有時，交疊的面積會擴大，例如，當愛因斯坦將黎曼幾何引入物理學時。但同時這兩門學科的不交疊的面積也大大地擴張了。”（[3]，p.779）“交疊的面積”的擴大標誌著物理學和數學的發展能促進二者重合部分增加，而“不交疊的面積”的“大大擴張”則代表物理學與數學在具有截然不同的取向、毫無關聯的部分也有了更加長足的進步。這意味著，物理學與數學重疊部分的增加速率低於物理學與數學各自非重疊部分的發展速率。

雖然事實如楊振寧所說，數學與物理學有互相交融、彼此促進的關係，但並非所有數學家和物理學家對於二者的交融說均持支持與期待的態度，尤其一些數學家渴望著數學與物理學最好井水不犯河水。楊振寧指出數學與物理學的交融態勢並不因為部分數學家的主觀反感而弱化，於是就導致一種不和諧學術現象的出現：一方面，“本世紀中一大群數學家有脫離物理學的傾向”，但與此同期，科學家越來越認識到：“很難避免得出這樣的結論：自然界似乎傾向於用數學中漂亮的基本結構去組織物理的宇宙。”（[3]，pp.779-780）這段話揭示了數學與物理學世界之間的密切關聯是不隨部分數學家的主觀意願而改變的事實，數學與物理學愈發糾纏於一起之大趨勢，過去已然，現在仍然、未來還將依然如是。探尋這其中的根本奧妙，則要回到古希臘的畢達哥拉斯主義或後期的新柏拉圖主義，這一思想完全蘊涵於被歷代物理學家，從伽利略、牛頓、愛因斯坦到海森堡，再到楊振寧等等反覆翻版的那句源自畢達哥拉斯學派的信條：萬物皆數。當然他們之中沒人還相信數是萬物本原，但都認可和強調在認識世界過程中數學是不可或缺的重要角色。

從方法上看，物理學家與數學家的研究與探索，在出發點即已分道揚鑣：物理學家總是從現象、從實驗事實開始，去假設、去構造、去預言、去驗證；而數學家則從基本的公理等少數邏輯前提開始，然後按演繹法一環接一環推論下去。楊振寧講過一個數學家打趣物理學家的故事：你們物理學家，感覺自己很厲害、了不起，但一再發現，我們數學家總是提前給你們準備好了數學工具，你們需要矢量時我們已有矢量代數；你們需要張量時，我們早已準備就緒；在你們需要矩陣的時候，我們已經準備好近百年了。而我們不需要實驗室和實驗設備，只靠推理和想象我們就做到了這一切。楊振寧接著這個話題說了以下一段話：

“數學家和物理學家都知道電磁場的基礎結構是纖維叢結構，但數學家研究纖維叢是什麼東西，這是他的著重點；物理學家也認為它妙不可言，可是物理學家著重考慮的是這個數學結構用到實際上會有什麼新的發展。數學與物理重疊的部分一定是對數學家有用的物理，或對物理學家有用的數學。如果能有辦法把這部分辨析、分離出來，無疑對數學家和物理學家都是很有意義的。但是這很難。怎麼能找到哪部分是重疊的？我想沒有方法和規律。”

他的這段話，除有對雙葉圖的進一步說明外，還涉及到了他的另一個觀點，即人們對於數學與物理學之間關係的認識尚未結束：“數學和物理學的關係不是一個已經弄得很清楚的問題。”（[3]，p.333）他甚至認為：“數學與物理學的關係問題是個有吸引力的問題，也是個經過大量評論的問題。我並不認為對於這個關係究竟是什麼的問題，會有任何具體明確的解答。”（[3]，p.332）這些表述充分展示了楊振寧對待數理關係所持有的開放與發展的眼光。

二、應用數學：數學與物理學之中介

雙葉圖能表達楊振寧關於數理關係的很多思想，但也並非是他在這個問題上的全部認識。他還曾通過數學的特殊分支，直接將數學和物理學聯繫起來，構成了數理科學在二維平面上彼此交疊的“連續譜系”，並以此闡釋二者的關係。這一特殊的數學分支即應用數學。1961 年，早在提出雙葉圖之前的一次學術會議上，楊振寧表達了他的這一觀點：

應用數學是一門大部分介於數學和物理學之間的創造性學科。但也介於數學和其他學科之間。在這一領域裡，用數學語言綜合物理世界的一些現象。應用數學與理論物理之間應該只有強調上的一個小區別，即強調從物理現象到數學公式的歸納與從數學公式到物理現象的演繹過程的不同而已。理論物理學家更強調歸納過程，應用數學家更強調演繹過程。一位真正好的理論物理學家實際上也應該是一位好的應用數學家，反之亦然。我相信這一觀點與應用數學家的本身的觀點是一致的……（[3]，p.115）

也就是說在這一視角下，楊振寧認為數學與物理學的交集構成應用數學的主體部分；以物理學家的視角看物理學與數學的這一交集部分，它就是理論物理學；而以數學家的眼光來看，它是數學中的應用數學的一大部分。如此看待數學與物理學的關係，二者之間的交集包含全部的理論物理學，這要遠遠大於雙葉圖比喻中數學與物理學的交集。用這種方法展示數學與物理學之間的關係，言外之意是對數學和物理學都採用了二分法：數學包括應用數學和非應用數學；物理學包括主要以數學為研究工具的理論物理學，以及實驗物理學。此種看法更加宏觀化、粗粒化，立足於數學與物理學主體方法的不同；而雙葉圖中對於數學與物理學疊合部分之解釋，相對而言更加微觀、細化，可以落實到某些具體概念。但橫嶺側峰，兩個視角並無對錯之別，各揭示一定思想寓意，分別有不同的啟發意義。

三、數學家與物理學家對待研究成果的不同感受

本文作者對楊振寧著述中的一些語彙，諸如描述數學家或物理學家時所用的專業“情趣”與“愛憎”等等頗感興趣，曾就此請其予以說明。在對這一話題的闡述中，楊振寧先生的一些觀點相當獨到。

“我用‘情趣’一詞形容數學家和物理學家，是一種沒有辦法的借用。科學家與藝術家的工作有什麼不同呢？我想最主要的是一個和情感有關，一個和情感無關。理論物理學家和數學家的感受到底有什麼分別呢？這其實是個很重要的題目，我思考過，但還沒有寫出來。我認為，真正到了非常重要的革命性的新發展階段，面對自己的成果，數學家和物理學家的感受有一個很大的不同，那就是數學家的感受是無我的，而物理學家的感受是有我的。數學家的研究結論總屬於數學家個人之外的世界，而不是關於他自己的。物理學家卻與此不同。麥克斯韋寫下麥克斯韋方程組，他據此算出電磁波的速度和光速是一樣的，於是他指出光就是電磁波。我對此是非常佩服的。[4]物理學家做出的很多重要發現裡是有‘我’的，物理學家在做出重大發現的時候，他不能忘記他本身也是受這個規律支配的。所以面對最重大的新發現的時候，物理學家和數學家在感受上是否有‘我’這個問題上，答案是截然不同的。”

數學家與物理學家作為個體人都是矗立於數學世界與物理世界面前的鏡子，其心理感受的不同，是由於物理學與數學分別描述自然界不同層面從而產生的區別，物理學的內容不能超越對現實物質世界的描寫與解讀，但是數學世界可以更加寬廣。

四、理論物理學家的數學知識多多益善麼？

物理學家尤其理論物理學家，離開數學會束手無策。在特殊時刻理論物理學家毫不隱晦他們對於更多數學知識的渴求。如薛定諤在嘗試建立描述量子現象的薛定諤方程時,就曾發出這樣的感慨:“此刻我正在為建立新的原子理論而掙扎。如果我擁有更多的數學知識有多好！……現在，為了徹底結束對於振動問題的研究，我必須學習更多線性微分方程方面的知識，它與貝塞爾方程相似，但並不廣為人知。”[5]那麼一位理論物理學家是否可以通過先學習更多的數學來增加自己作為理論物理學家的優勢呢？楊振寧結合自身的體會和觀察，對此的態度是明確否定的：過多學習和涉獵數學的理論物理學家，有可能喪失自己的物理直覺能力。（[3]，p.740）而在這一問題的另一方面，楊振寧指出：數學家接受較多的物理學的訓練，對於他其後吸收數學概念卻不是障礙，恰恰相反，“實際上，它往往有助於進行創造性的數學思維。為什麼會這樣，顯然是一個深奧的問題。”（[3]，p.115）在與本文作者的談話中，楊振寧再次強調了過分喜愛和學習數學，會成為物理學家增強本專業研究能力的障礙：“數學的美是非常誘人的。數學研究的這種引誘可以達到不拔之境的地步。假如想要研究物理的話，不能被數學引誘得太厲害。數學引誘太厲害的話，研究物理的想法就會被撇開了。”

物理訓練不影響進一步接受數學，但是過多數學薰陶可以使學習物理的人轉行成為數學家。為什麼這樣？楊振寧說這“是一個深奧的問題”，卻並未予以進一步解答。我們可以從兩個方面予以理解。其一是楊振寧所說的，數學與物理，有不同的價值、不同的趣味與不同的傳統，對於極少的特殊者而言二者可以兼得、可以相得益彰，但是對於多數人而言魚與熊掌不可兼得。一個人如果想致力於物理學研究，那麼要有意識提醒自己，有意識控制自己的數學愛好，否則過多地沉醉於數學之中，完全有可能造成物理研究之樹上生長能力的削弱或頂端優勢的喪失。其二，數學世界大於物理世界，數學世界中涵蓋現實世界那一部分，就是物理世界；而數學世界中靠想象與邏輯推理超越現實世界的部分，則是不允許在物理學存在的。年輕時的愛因斯坦曾有這樣的感受：“數學分成許多專門的領域，每一個領域都能費去我們所能有的短暫的一生。”[6]龐大的數學風景區會讓有的人自我迷失而走不出來，也可能讓有的人樂不思蜀而不再想走出數學世界。

有志於成為物理學家的年輕人，更多的還是要培養自己的物理直覺，當然也不是不需要基本的數學素養，但想一勞永逸先學好將來物理研究中能用到的數學的念頭並非切實可行。理論物理學更多的成功之士，從愛因斯坦到薛定諤等，在研究物理學特殊問題過程中，遇到自己難以解決的數學困難時，都是通過向周圍數學能力更好的人請教並得到指點而攻克科研難關的。因此理論物理學家結交幾位有能力的數學家朋友，似乎比自己盲目地追求儲備過多數學知識更加必要。這與楊振寧的觀點是相合的。

五、楊振寧與愛因斯坦對數學的相似感悟

愛因斯坦藉助黎曼幾何建立了廣義相對論。這一經歷使他對數學有了更深刻的感悟和困惑：數學是與經驗無關的人類思維產物，為什麼它在描述自然界方面如此異常重要？基於這樣的思考，1921 年愛因斯坦曾提出如下問題“是不是不要經驗而只靠思維，人類的理性就能夠推測到實在事物的性質呢？”（[6]，p.136）這第二個問題不可小視，提出這一問題，一定意義上意味著對於物理學實驗綱領的懷疑，甚至顯露了背叛這一物理學基本綱領的思想意識。相信有一些理論物理學家會對愛因斯坦在這裡提出的第二個問題給出否定答案，愛因斯坦本人更多時候也是這樣做的，但是無可否認數學具有的這種超然的強大功能，的確曾讓愛因斯坦費解、困惑並對此展開深思。

愛因斯坦在建立廣義相對論之前其數學積澱以及對於數學的認識都有欠缺。對此他是直言不諱的。比較而言，數學在楊振寧的知識世界裡較早就佔據至少與物理學同樣重要的地位。楊振寧欣賞並欽佩數學的趣味、數學的美感與數學的力量，同時像愛因斯坦一樣，數學不可思議的作用也令他震驚與訝異：“我的大多數物理學同事都對數學採取一種功利主義的態度。或許因為受父親的影響，我比較欣賞數學。我欣賞數學的價值觀念，我欽佩數學的美和力量；在謀略上，它充滿了巧妙和紛雜；而在戰略戰役上則充滿驚人的曲折。除此之外，最令人不可思議的是，數學的某些概念原來竟規定了統治物理世界的那些基本結構。”（[3]，p.214）這種“不可思議”、這種震驚與訝異不是來自於抽象的意向或朦朧的感覺，而是源自於十分具體的直接感悟。楊振寧成功利用數學的纖維叢理論建立了物理學領域異常重要的規範場理論，二者完美的契合令他驚歎、歎服。對此他曾與數學家陳省身有過交流：“1975年我與陳省身討論我的感覺，我說：‘這真是令人震驚和迷惑不解，因為不知道你們數學家從什麼地方憑空想象出這些概念（指纖維叢）。’”（[3]，p.242）不難看出，對於數學魔力直接的親身感受和疑惑在愛因斯坦和楊振寧的思想世界裡是極為相似的。

楊振寧與愛因斯坦對於數學的相似感悟還有很多。讀書時對數學懷著敬而遠之心理的愛因斯坦，後來數學在他的思想中的分量卻與日俱增。他甚至認為在所有的科學學科中，數學具有無可比擬的特殊性與權威性。讓他產生並堅信這一認識的理由之一是，在他看來，物理、化學等其他自然科學，存在無休止的優勝劣汰、改朝換代或新陳代謝；但數學世界一經奠定即江山永固，與物理世界存在著根本的不同：“為什麼數學比其他一切科學受到特殊的尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，並且經常處於會被新發現的事實推翻的危險之中。”（[6]，p.136）無獨有偶，在楊振寧與本文作者的交談中，他將物理學與數學相比較，曾詳盡地表達了與愛因斯坦的這一看法十分一致的認識。

“數學這門學科像是一座極其漂亮的宏大的宮殿，裡面漂亮的東西有很多。代數、幾何等不同的分支都有其妙處，而且妙的地方又互相關聯起來。……一個數學家假如發現或證明了一個很漂亮的定理，那麼他這個功勞永遠存在，不會消失或被推翻。數學世界沒有淘汰機制，微小的創造也永遠不朽而足以令其創造者自豪。相反在物理學界就不一樣。隨著老一代物理學家的理論被後來者所淘汰，他們也就失去了在物理學中的重要性，因而在物理界將逐漸淡出後人的視野。從長遠的角度來看做數學比較保險。亞里士多德的很多物理學結論都是錯誤的，但數學領域比他更早的畢達哥拉斯定理卻永遠正確。從這個立場講，物理和數學的價值觀是不一樣的，歷史境遇也是彼此不同的。” ①

關於物理學與數學之間的複雜關係，楊振寧在著述中多次表達自己的看法，他不否認這是一個尚未討論清楚甚至可能永遠沒有明確答案的問題。在楊振寧關於數學與物理關係的所有論述中，有一種積極樂觀看待事物與事物發展的心態。展望未來，他堅信物理學與數學必將繼續互相糾纏、互相滲透並互相促進：“我個人相信，在下一個世紀，（數學與物理學）交疊區域將繼續擴大，這對兩門學科都會有益。”（[3]，p.780）

[參 考 文 獻]

[1]楊振寧. 美和物理學[J]. 自然辯證法通訊, 1988, 10（1）: 1-7.

[2]楊振寧. 曙光集[M]. 翁帆編譯, 北京: 生活·讀書·新知三聯書店, 2008, 17.

[3] 楊振寧. 楊振寧文集[M]. 上海: 華東師範大學出版社, 2000, 334.

[4]Chen, N. Y. 'The Conceptual Origins of axwell’s Equations and Gauge Theory'[J]. Physics Today, 2014, 67(11): 45-51.

[5]Moore, W. A Life of Erwin Schrödinger[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, 141.

[6]愛因斯坦. 愛因斯坦文集[M]. 許良英、範岱年編譯, 第一卷, 北京: 商務印書館, 1976, 7.

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