在古希臘時期，數學就已經開始萌芽。當時有一個著名的學派，叫畢達哥拉斯學派，畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”是該學派的哲學基石。而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰。他們認為數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界，數學的知識由於純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。
這一學派最著名的成果就是畢達哥拉斯定理，（畢達哥拉斯定理也被稱為商高定理，商高是西周初數學家。他在公元前1000年發現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五。此發現早於畢達哥拉斯定理五百到六百年）這個定理在後來產生了許多影響無數數學家的問題，比如費馬大定理，以及我們今天要提到的這個—畢達哥拉斯悖論。
當時畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生，而這句話也被稱為“畢達哥拉斯悖論”。√2這類不可度量的數在當時被他們叫做“阿洛貢”，這個詞的含義是“不可說”。上帝創造的和諧的宇宙竟然出現了無法解釋的破綻，此事應絕對保密，以免他因事情暴露而把憤怒發洩到人類身上。
希帕索斯的這句話成為了自己的掘墓人，他被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，當然，這句話也直接成為了畢達哥拉斯學派的“掘墓人”，極大地動搖了畢達哥拉斯學派的理念——一切數均可表成整數或整數之比。後來畢達哥拉斯學派的歐多克索斯嘗試通過給比例下新定義的方法來進行補救。
他首先引入“量”的概念，將“量”和“數”區別開來．用現代的術語來說，他的“量”指的是“連續量”，如長度、面積、重量等，而“數”是“離散的”，僅限於有理數。其次改變“比”的定義：“比”是同類量之間的大小關係．如果一個量加大若干倍之後就可以大於另一個量，則說這兩個量有一個“比”．這個定義含蓄地把零排除在可比量之外。
歐多克索斯理論是建築在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數作為數來處理．儘管如此，歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎．為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發展．從他之後，幾何學成了希臘數學的主流。
不過歐多克索斯理論並沒有從實質上解決畢達哥拉斯悖論。歐幾里得則嘗試對√2進行推導，他認為√2不可能寫成一個分數。他採用反證法進行證明。
具體證明過程
歐幾里得直接從數學角度證明了的確存在這樣的一類數字，向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數並沒有佈滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經後人證明簡直多得“不可勝數”。於是，古希臘人不得不接受除了整數和分數外還存在另外的數。古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統（指連續不斷的數集）的設想徹底地破滅了。
由於對這種“怪數”的接受很不情願，於是就給它起了難聽的名字—無理數。無理數的誕生可以說直接對古希臘人的觀念產生了極大的衝擊，因為當時古希臘人認為任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這讓當時的古希臘人十分彷徨，不可通約量(即無理數)的發現引起人們思想上的困惑。難道自己的所建立的數學體系都是錯誤的嗎？
要知道，在古希望時期，數學可以說和哲學、藝術這些相互融合、互相發展的。可以說這個數字的誕生在當時幾乎把數學扼殺在了搖籃之中，所以才引發了數學史上的第一次危機。針對當時古希臘對數學處於彷徨的態度，柏拉圖宣告了以數為基礎的數學模型的破產，提出以幾何為基礎建設宇宙模型的構想。
在歐幾里得、亞里士多德等人的推動下，古希臘人不得不承認：直覺、經驗乃至實驗都不是絕對可靠的（如用任何實驗都只能得出一切量均可用有理數表示這個結果），推理論證才是可靠的，並且在歐幾里得以幾何為基礎的主張中，古希臘人發展了邏輯思想並加深了對數學抽象性、理想化等本質特徵的認識。
拉斐爾重現古希臘數學與藝術的輝煌
而歐多克索斯、歐幾里得等人的工作不僅總結了以前全部幾何學知識，建立起第一個幾何公理系統（歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統）。還編寫出《幾何原本》一書。這無疑是數學思想上的一次巨大革命，古典邏輯與歐氏幾何就是第一次危機的產物。
但在很長一段時間，數學家都不願意接受有理數的存在，甚至刻意迴避有理數，直到十九世紀，無理數也沒有一個名正言順的地位，這場古希臘時期引發的數學危機就這樣持續了 2000 年。
到十九世紀下半葉，因為歐幾里得的以幾何為基礎的主張，人們還把函數的概念和作為動點運動軌道的曲線的幾何概念聯繫在一起。 由於動點必須經過它的軌道上任兩點之間的每一個點, 因此曲線是連續的; 又因為動點在它的軌道上的每一點都有確定的運動方向,因此曲線在每一點處都有切線。正是出於這種直觀的考慮, 當時的數學家相信, 連續性是可微性的充分條件。當時幾乎所有的數學家都相信“任何連續函數除個別點外都是可微的”, 甚至象高斯、 柯西和狄利克雷這樣傑出的數學家, 也從未在其著作中提到他們對此持不同意見。
當德國數學家維爾斯特拉斯於 1861 年給出了一個處處不可微的函數時，震驚了整個數學界。這個函數如下：
維爾斯特拉斯的處處不可微函數使得人們進一步感覺到需要徹底擺脫幾何直覺的依賴，重新考察分析基礎，數學分析的進一步發展需要進一步有邏輯嚴謹的實數理論作為其基礎，再加上當時微積分已經誕生，微積分計算必須根植於實數園地，而這個時候數學界還沒有給實數下一個明確的定義，人們這個時候才不得不開始解決有理數這個一直被迴避的存在。
所以魏爾斯特拉斯等人發起了“分析算術化”運動，想要解決由無理數引發的持續2000年的數學危機。魏爾斯特拉斯認為實數是全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數歸結為整數(有理數)。這樣，分析的所有概念便可由整數導出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補。這就是所謂“分析算術化”綱領。
在魏爾斯特拉斯“分析算術化”運動的引領下，戴德金、康托爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實數理論。
1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，他將一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個元素小於集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，並將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割，在這裡面，戴德金從有理數擴展到實數，建立起無理數理論及連續性的純算術的定義。
戴德金分割定理推算過程
康托爾也通過有理數序列理論完成了同一目標，康托爾和戴德金都是將實數定義為有理數的某些類型的“集合”。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康托爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現代數學中都已成為典型的構造方法，被後人不斷推廣發展成為數學理論中的有力工具。
康托爾的有理數序列理論
維爾斯特拉斯發表了有界單調序列理論，有理數基本列是先假定實數的完備性，再根據有理數列的極限來定義有理數無理數。有很多有理數列，他們自己是基本列，但在有理數系內沒有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數時，則稱它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數或者收斂空了時，則稱它為無理基本列。有理基本列定義的是有理數，無理基本列定義的是無理數。
有界單調序列理論求證過程
實數的這三大派理論，從不同方面深刻揭示了無理數的本質，證明了實數系的完備性。實數的定義及其完備性的確立，標誌著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。這樣長期以來圍繞著實數概念的邏輯循環得以徹底消除。 使得2000多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了。直到此時，我們才可以說由畢達哥拉斯悖論引發的第一次數學危機圓滿而徹底地解決了！
這一危機的化解，使“數”真正具有了表達一切量的可能，不僅是無理數，還使數的概念不斷擴大和發展。複數、四元數、超限數、理想數、非標準數等各種各樣的數都被創造出來了。
第一次數學危機的影響是巨大的。首先，它推動了數學及其相關學科的發展。例如,歐幾里得幾何就是在第一次數學危機中產生的。其次，雖然第一次數學危機在一定程度上引起了數學思想上的混亂，但數學並沒有在危機面前停滯，反而在克服危機的過程中產生了邏輯學和公理幾何學，取得了重大發展。
總而言之，第一次數學危機的結果是產生了無理數概念的重大飛躍，使人們對實數有了完整的認識，同時，這也為後來歐幾里得、阿基米德等人在數學上的傑出成就，直至牛頓、萊布尼茲創建微積分奠定了數的基礎。
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