1.引言
我們在介紹 時，得到一個公式：
f(b)-f(a)=f'(ε )(b-a)
拉格朗日看到這個公式就想，我們令b=x,a=0 就可以得到
f(x)-f(0)=f'(ε )(x-0)
移項，化簡：就得到
f(x)=f'(ε )(x)+ f(0)
f(0)可以認為是一個常數，所以，就得到
f(x)=a+f'(ε )(x)
這個公式表明：任何一個函數，都可以寫成一個a加上函數一次求導形式。
而函數求導最大的好處就是：降低函數計算的複雜度。
例如：我們知道 sinx≈x, ln(1+x)≈1/(1+x)
所以，如果看到 sin0.001你就立刻知道他大約等於0.001， ln1.001大約等於1/1.001
求導能把複雜的正弦、對數運算轉換為加減乘除運算。
2.泰勒級數
拉格朗日看上面公式是好的，但是他感覺有點遺憾，sin0.001≈0.001 是沒錯，但是誤差到底是多少？因為在高科技上，精度99.9999%和 99.99999%還是有區別的。所以，要能解決f(x)的精度問題。
這個問題，拉格朗日到死都沒解決掉，但是後來被泰勒解決了。泰勒看了
f(x)=a+f'(ε )(x)
這個公式後，突發奇想：如果函數f(x)可以寫成如下方式就好了：
這樣，如果以後再求sinX時，因為高級次冪可以忽略，就能知道sinX的精度了。
請別問我泰勒為什麼會怎麼想到用這個公式表示，因為人家是天才。
所以，我們現在就要求a,a1,a2，a3到底是多少。
也許沒有一個人知道泰勒是怎麼想到的，但是，最終，泰勒給你一個結論：
a=f(x), a1=f'(x), a2=f''(x), a3=f'''(x)
這樣，泰勒級數就出來了：
如果a=0，也可以把這個級數稱為麥克勞林級數。
3.常規函數泰勒展開式
下面介紹求sinx的展開式：
現在，數學家已經把常用函數的泰勒展開式都給計算出來了。
4.泰勒級數有什麼用
在本文開頭曾經說過，求導無法確定精度，使用泰勒級數，最大的好處，就是知道了我要的精確到什麼程度。
所以 sin0.1=0.1-0.1^3/3!+0.1^5/5!-0.1^7/7!+0.1^9/9! ...
能很明顯看到後一項比前一項小，當小到一定程度，滿足我們的精度，我們就可以認為他是合適的。
就像圓周率π，普通計算取3.14就能滿足，高精度的取3.1415926可以滿足，超高精度的 3.14159 26535 89793 23846 大家都知道他是無限不循環小數，但是這並不影響他的正常使用。
總之，這個精度範圍你可以控制的。
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