01 開場白

說到學微積分，在學完導數的基本概念之後，一定免不了接觸 中值定理。

什麼 羅爾定理，費馬定理，拉格朗日中值定理，洛必達法則等等。

有的同學不得其要領，只求記住公式做題目，這樣是無法靈活運用的。

這篇文章，就讓我們一起來了解一下拉格朗日定理。

02 拉格朗日定理

拉格朗日

約瑟夫·拉格朗日伯爵(1736 ~ 1813) 是18世紀歐洲最偉大的數學家。拉格朗日一生致力於數學、力學和天文學的研究，是變分法的開拓者和分析力學的奠基人。

作為家中長子，拉格朗日的父親是希望拉格朗日學習法律的。但是，偏偏拉格朗日自幼熱愛天文學。在拉格朗日16歲時，一篇介紹牛頓微積分的文章《論分析方法的優點》燃起了拉格朗日對牛頓你的崇拜和敬仰之情，自此發奮鑽研數學。

拉格朗日與另一位神人 歐拉是摯友。在兩位大師的不懈努力下，成功創立數學的一個新分支 - 變分法。

拉格朗日在天文學上頗有造詣，發表論文論證有關月球何以自轉、以及自轉總是以同一面面對地球的難題。拉格朗日一生學分嚴謹、精益求精。他的成果也深深的影響著後世的學者們。

好了，閒話不多扯，進入主題。

首先，我們來看一下定義：

拉格朗日定理

初看起來，頭皮發麻。不著急，我們慢慢來。

老規矩，上圖。

圖1：拉格朗日:（一）

假設我們知道 f'(x) 的函數圖像，如圖1中黑色曲線所示。那麼

同理，f(a) - f(0) 則對應圖2中紅色區域面積。

圖2：拉格朗日（二）

因此，f(b) - f(a) 則是藍色面積減去紅色面積。

圖3：拉格朗日（三）

現在我們來仔細看一看圖3，是不是發現拉格朗日定理中的 f(b) - f(a) 和 b - a 都出現在了圖3中。

圖4：拉格朗日（四）

我們在 f'(x) 曲線上有一紅點，該點座標為

因此，拉格朗日定理可以轉變為：

在開區間（a，b）內，一定存在一點使得圖4中 黑色斜紋區域面積 = 橙紅色區域面積。

03 拉格朗日定理的物理解讀

假設，圖4中的曲線是一輛汽車的速度-時間曲線（t, f'(t))，在時間b處，速度為f'(b)，在時間a處，速度為f'(a)。

那麼，

• f(b) - f(a)的物理意義就是在a到b的時間段裡，汽車所行駛的距離。
• b - a的物理意義就是a到b的時間段。

那麼，對拉格朗日定理做一下變換：

（f(b) - f(a)）/（b - a）= 總距離/總時間 = 平均速度 = f'(ξ)。

這樣理解，拉格朗日定理則變成順理成章的事情了。

04 總結

當然，高數書上的解釋是：

做出 f(x) 的圖形，然後通過將 f'(x) 看做曲線斜率去解釋。

但是，我認為那樣的解釋比較難以接受和理解，只能說各有各的優勢。

註明：上圖中的曲線是 f'(x)，而不是f(x)。切記不可能混。

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關鍵字: 數學 學完 約瑟夫·拉格朗日