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繪圖：FRANCESCO IZZO
安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）認為他解開了一個古老的難題，但故事才剛剛開始……
撰文 | Peter Brown
翻譯 | 潘磊
審校 | 甘立 吳非
震驚世界的證明和一點小麻煩
1993年6月，在英國劍橋大學的一場數學會議上，安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）做了一系列報告，標題晦澀難懂——“模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示”（Modular Forms, Elliptic Curves, and Galois Representations）。他的論證過程冗長且技巧性很強，到第三次演講進行20分鐘後才進入尾聲。為了強調所得結果，他在最後打上了：
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Fermat's Last Theorem，費馬大定理，是數學史上的著名猜想，由 17 世紀法國律師兼業餘數學家皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）提出，但經過350年仍然沒有完備的證明。普林斯頓大學的教授懷爾斯躲在家中的閣樓裡，默默研究這個古老難題整整七年。現在，他要在會場公佈自己的證明。
注：模形式（modular form）是一種解析函數，這種函數的只接受來自複數平面內上半平面中的值，並且這種函數在一個在模型群的群運算之下，會變成某種類型的函數方程，並且通過函數計算出的值也會呈現出某個增長趨勢。模形式理論屬於數論的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和絃理論。
伽羅瓦群：在數學中，特別是抽象代數理論中，由法國數學家埃瓦里斯特 · 伽羅瓦（Évariste Galois）得名的伽羅瓦理論提供了域論和群論之間的聯繫。應用伽羅瓦理論，域論中的一些問題可以化簡為更簡單易懂的群論問題。
這番講話令在座的人，乃至全世界震驚。第二天這件事就登上了《紐約時報》的頭版。懷爾斯一時間名聲大振。服裝零售商Gap邀請懷爾斯參與設計一款新的牛仔褲，但最終被他拒絕。他被《人物》評為“年度最有魅力的25位人物”之一，在列的還有戴安娜王妃、邁克爾·傑克遜和比爾·克林頓。著名撰稿人Barbara Walters聯繫他進行訪問，而懷爾斯回覆道：“Barbara Walters是誰？”
但慶祝並沒有持續多久。一個證明被提出之後，必須經過仔細的檢查和驗證才可能被承認。懷爾斯向世界頂級數學期刊Inventiones Mathematicae提交了長達200頁的證明。該期刊的編輯隨後將這份手稿分發給6位審稿人，其中一位是普林斯頓大學的數學家Nick Katz。
Katz和他的法國同事Luc Illusie一起，花了兩個月時間，仔細檢查了所負責部分的每個邏輯環節。每當他們會遇到一些無法理解的論證時，Katz便會給懷爾斯發郵件，而懷爾斯會回覆澄清問題。但到了8月底，懷爾斯對一個問題的解釋並不能說服兩位審稿人。在進一步研究後，懷爾斯明白Katz找到了論文數學邏輯框架中的一個缺陷。起初，簡單的修復看似可行。但當懷爾斯著手修復缺陷時，邏輯框架的碎片開始脫落。
懷爾斯意識到，這不只是一個淺顯簡單的失誤，它甚至可能超出一個可修復缺陷的範疇，這時他變得愈發惶恐。如果它是一道裂縫，一個無法修補的缺陷，那將使得整個大定理的證明崩塌殆盡。
普林斯頓大學數學教授安德魯·懷爾斯。懷爾斯歷時7年，證明了350年懸而未決的費馬大定理。圖片來源：美聯社Charles Rex Arbogast
數學史上的黯淡的一頁
費馬大定理具有不可思議的簡潔性，它由費馬於1637年提出。當時他正在閱讀古希臘數學家丟番圖（Diophantus）編纂的《算術》（Arithmetica）。書中有關於畢達哥拉斯定理（勾股定理）的討論。如我們所學，直角三角形斜邊長的平方是兩直角邊的平方和。用數學形式可以表示為x2+ y2= z2，其中x、y、z分別是三角形中兩條直角邊和斜邊長。
丟番圖找到了一些滿足條件的正整數解，將其命名為“勾股數組”，並且證明了存在無窮多對勾股數組（嚴格來說，存在無窮多個三個數互質的素勾股數組）。最簡單的例子是直角三角形的（3, 4, 5），還有（5，12，13）和（145，408，433）。
費馬接著發問：能否在高維下找到類似的數組呢？或者說，形如 a3+ b
3= c3的方程有沒有正整數解？那麼 a4+ b4= c4呢？a10,007+ b10,007= c10,007呢？費馬的答案是不能。將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，不存在滿足條件的a，b，c。費馬在《算術》的頁邊寫下名句：“關於此，我確信我發現了一種美妙的證法，可惜這裡的空白處太小，寫不下。”
皮耶·德·費馬（來源：wikipedia）
他似乎也從沒在別處詳細闡述過。費馬去世後，他的兒子Samuel出版了一本新版《算術》，裡面囊括了他老爹在頁邊空白處所做的所有筆記。筆記中的數學命題，往往沒寫下證明過程，留下了一個極為誘人的挑戰。幾年內，讀者幾乎證明出了所有命題，除了那個關於高維勾股數組的命題，那是“最後一個”未能被證明的命題（費馬大定理也稱作“費馬最後的定理”）。
幾個世紀以來，費馬大定理成了科學家、業餘愛好者和“民科”們追逐的對象，每次看似靠近卻發現沒有出路。（數學王子高斯是早期少數抵制其魅力的數學家之一，他駁斥其為“一個孤立的命題，讓我沒有什麼興趣”。）法國科學院為它設立了數目可觀的賞金。但即使最優秀的數學家在費馬大定理上取得的進展也很有限。費馬在筆記中給出了n=4時的定理證明。數學家之後也證出大定理對n<100以及相應的n的倍數都是成立的，但是對所有n，他們既無法證明，也無法證偽。
不過，他們的探索帶來了別的收穫。從失敗的廢墟中，誕生出開闢廣闊數學新領域的深層理論。1847年，法國數學家奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）和他的競爭對手Gabriel Lamé都相信自己藉助包含虛數的複數系證明了費馬大定理。典型的虛數形式是bi，其中i = √(-1)；b是實數。一個複數寫作a+bi，具有一個實部a和一個虛部bi。
柯西和 Lamé的證明都基於一個被普遍認為正確的猜想：複數和實數一樣，可以被分解成唯一一組質數對。比如6=2×3，除了更改順序分解成3×2，不會有別的結果。但令兩人感到尷尬的是，他們同時代的德國數學家Ernst Kummer證明某些複數可以有多種方式的質因數分解。比如6 + 0i，可以分解成2 x (√2 + i) x (√2 – i) 或者 (1 + √5i) x (1 – √5i)。
為了修復複數的唯一質因數分解性質，Kummer創造了一個新的代數概念——理想（ideal），這對後世抽象代數的發展有著重要作用。美國代數學家Leonard Eugene Dickson在20世紀初寫道，Kummer的創造是“上世紀最重要的科學成就之一”。
但費馬大定理的證明停滯在這裡。19世紀中後期，大多數主流數學家跟從高斯的選擇，擱置了費馬大定理的證明工作。他們已經窮盡了所有可能的方法，提不出新的解決思路。嘗試證明大定理或是推翻它，都是時間和精力上的巨大冒險。一個大有可為的數學家可能窮盡一生，苦思冥想，最後思維枯竭卻拿不出和努力相當的成果。
切入口 —— 谷山-志村猜想
懷爾斯在10歲時第一次接觸到費馬大定理。像許多擁有數學夢的孩子一樣，他幻想著能夠解決它。但是在劍橋攻讀博士期間，懷爾斯 聽從導師的建議，選擇避開那條可能的死衚衕。另一方面，他轉而學習在密碼學中非常有用的橢圓曲線。橢圓曲線的圖看起來就像甜甜圈的表面。
在懷爾斯到普林斯頓大學數學系任教之後，1986年加州大學伯克利分校的數論家Ken Ribet提出了一個意想不到的思路，這對費馬大定理的證明具有深遠的意義。此前30年，東京大學兩位年輕學者谷山豐（Utaka Taniyama）和志村五郎（Goro Shimur）提出了“谷山-志村猜想”，建立起橢圓曲線（代數幾何的對象）和模形式（數論中用到的某種週期性全純函數）之間的重要聯繫。
模形式是數論中常用的工具，其存在於四維雙曲空間（一種彎曲的空間）中，具有驚人的對稱性。就像正方形繞中心旋轉四分之一圈可以和自身重合；同樣，一個模形式經過旋轉、反射或者其他變換後，還是能與自身重合。另一方面，橢圓曲線本身就是一種代數結構。當你在複平面中畫出滿足 y2= x3+ Ax + B （A 和B 是常數）的圖像，就能得到橢圓曲線。
谷山和志村提出了一個大膽而激進的想法：模形式是橢圓曲線的另一種形式。如果他們是對的，那麼至今所有有關模形式的研究成果都可以用橢圓曲線的語言表示出來，反過來也一樣。證明這個猜想將是統一數學不同分支的關鍵。
這或許是證明或證偽費馬大定理的突破口。20世紀70年代，法國一位名叫Yves Hellegouarch的在讀博士生證明，如果費馬大定理是錯誤的，即能找到方程an+ bn= cn（n>2）的一組整數解（a，b，c），那麼就可以得到滿足y2= x(x – an)(x + bn)條件的橢圓曲線。十年後，德國數學家Gerhard Frey 進一步指出，只有谷山-志村猜想錯誤的情況下，上述橢圓曲線才會存在。或者說得更直接些：谷山-志村猜想一旦成立，那麼費馬大定理必將成立。
Ribet證明了Frey的猜想是正確的。這讓懷爾斯倍受鼓舞，現在他可以重拾小時候證明費馬大定理的夢想而不必背離當下主流的數學研究了。他躲進家中的頂樓，決心證明谷山-志村猜想。
險些失之交臂
到1993年12月，距劍橋演講已經過去了6個月， 懷爾斯幾乎沒有告訴任何人，這個數學界等待了幾個世紀的證明在他身後搖搖欲墜。只有論文的審稿人和他的密友知道證明存在缺陷。而懷爾斯根本沒有證明費馬大定理的流言開始傳開，數學家們要求他公開論文原稿。如果存在錯誤，同行們寄希望於某個人能魔術般地看清並修復這些缺陷。
但懷爾斯不準備讓他人輕易攫取這份榮譽。他又重回閣樓，重回到一種孤獨的狀態，甚至一直擔任懷爾斯非官方新聞聯絡人的Ribet也無法聯繫到他。普林斯頓的數學教授、懷爾斯的朋友Peter Sarnak說：“不知怎麼的，人們的想法是‘你要證明費馬大定理，如果不證明出來，你就有麻煩了。’”
Sarnak勸說懷爾斯去找個合作者一起修復這個缺陷，即使僅僅“能讓他的想法從過於熟悉的人身上脫離開去。”懷爾斯電話邀請了他以前的學生Richard Taylor。Taylor當時已經是劍橋大學著名的數論學家。起初，他們嘗試了Taylor所說的“局部化處理”：對懷爾斯不完備證明中使用的方法進行小的改良，從而修正錯誤。
但這卻於事無補。Taylor回憶說，接著他們決定“擴大範圍，撒張更大的網，來找尋其他的方法”。整個春季再到夏季，他們一直在工作，甚至常常在深夜裡通過電話長時間討論。Taylor說：“我從來沒有收到過如此昂貴的電話賬單。”
但是到1994年9月，他們的努力仍然沒有任何進展。在準備向世界承認失敗的前一刻，懷爾斯決定“最後一次檢查”最初的方法結構，試圖確切地找出它不能奏效的原因。在BBC的記錄片The Proof中，他講述了接下來的故事。“突然間，完全出乎意料，我有了一個難以置信的發現。”
在曾經失敗的技術的餘燼中，恰恰有用來證明另一個猜想的工具。那個工具就是“巖澤理論”（Iwasawa theory）。他在三年前放棄了這種方法，但現在他能用它徹底地彌補缺陷，從而證明了費馬大定理。“它美得無法形容，它是那麼簡潔而優雅。我呆望著它，難以置信。”憑藉著這一理論，懷爾斯和Taylor很快就在幾個星期內修復了論文中的漏洞。1995年5月，他們在國際頂尖期刊《數學年刊》（Annals of Mathematics）上發佈了集合所有工作的兩篇論文。最終的證明和附帶的討論長達130頁。
這是不是費馬沒有寫下的證明呢？也就是那個因為《算術》頁邊太窄而寫不下的“美妙的證法”？唯一合理的答案是“NO”。為了證明費馬大定理，懷爾斯使用了最新的數學工具和思想，它們的誕生遠遠晚於費馬的時代。大多數數學家認為費馬的定理是在錯誤中總結的。如果他確信自己知道證明方法，很有可能只是迷惑了自己。
但重要的不是費馬個人的對和錯。古希臘人點燃了數論領域的源，而費馬的一次誤導性的吹噓，把奄奄一息的火焰煽成了數學的一個主要分支。他不完美的天才留給我們的數學遺產遠遠比給他如何得出猜想的瑣碎小事更為重要。
而對懷爾斯來說，所幸他的失誤只是一個可以彌補的小缺陷。
原文鏈接：
http://nautil.us/issue/67/reboot/how-maths-most-famous-proof-nearly-broke-rp
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