——以尋找介於兩個分數之間的分數為例
vipJr數學教學研究院 金榮生
我們從一道有關分數的習題開始，談談學好數學需要養成的三個習慣。
一．有一說一
問題：介於3/4 和4/5 之間的分數中，分母最小的分數是多少？
注：這裡分數的分子、分母只能是正整數。
思路3：用“糖水混合不等式”。
如果一杯a 克的糖水中含b 克糖，我們定義它的“甜度”為b/a。另一杯c 克的糖水中含d 克糖，那麼它的“甜度”為d/c。現將這兩杯糖水混合，共有(a+c) 克糖水，其中含糖(b+d) 克，“甜度”是(b+d)/(a+c) ，混合後的糖水的“甜度”一定介於原先的兩杯之間。
從上面的現象，可以抽象出以下的命題（為了行文方便，我們稱之為糖水混合不等式）：
思路4：枚舉。
枚舉是一個“笨”辦法，但用得好卻是大巧若拙。不用枚舉法，也是可以證明的。
因為看到過（或者從老師處聽說過）糖水混合不等式，得到了正確答案7/9，卻沒有想到怎麼去證明，或者根本沒想到需要證明，也就沒有達到對這個問題的真正理解。大膽猜測，還需要嚴格證明。背套路，猜答案，不求甚解，每當猜對，便欣然忘索其理，正是許多孩子學不好數學的原因所在。
培根說過 “數學使人嚴密”，有一說一 ，知之為知之，不知為不知，知多少說多少，是對數學嚴謹性的尊重。培養實事求是、謙虛謹慎、對錯分明的學習習慣，正是數學學習的意義所在。
二．舉一反三
孔子曾對他的學生說：“不憤不啟，不悱不發，舉一隅不以三隅反，則不復也。”意思是說，不到他百思不得其解的程度不要去啟示他；不到他心裡明白卻不能完全表達出來的程度不要去引導他；如果教給他一個方面的東西，他不能舉一反三，就不要再反覆地給他舉例了。
如學會了用 “糖水混合不等式”得到
所以介於3/4 和4/5 之間的分數有無限多個，且分母可以無限大，即不存在分母最大的分數。
能否舉一反三是檢驗是否學懂的一個標準，聽得懂，不會做，就是沒有真懂。
“道生一，一生二，二生三，三生萬物。” 數學學習需要學生從這個“道”出發而生“萬物”，唯有如此，方可跳出題海，進入觸類旁通、融會貫通的境地。
三．獨一無二
不死讀書，不迷信權威，不只認同一個方法或途徑，總是另闢蹊徑，思考專屬自己的獨一無二的解法，是許多成功者的共同習慣。
聽了我對“尋找介於3/4 和4/5 之間的一個分數”的思考後，vipJr數學教學研究院李老師給出瞭如下“獨一無二”的解答：
看到這個問題，我可能會從另外的角度來思考。
注意到這兩個分數的規律，分母比分子大1，取倒數後兩個分數形式相近。即寫作以下形式：
發明千千萬，起點是一問，能否提出獨一無二的問題，是否願意長時間思考“自己暫時做不出，老師也不知道答案”的問題，是培養創新能力的關鍵。諾貝爾獎獲得者楊振寧教授曾指出：“中國學生普遍學習成績出色，特別在運算和推理方面比國外學生有明顯優勢，但中國學生最大的缺憾，就是不善於提出問題，缺乏創新精神。”
多年來學校教育一直在教我們做“學答”，而非做“學問”。你能夠提出以下類似的問題嗎？
這個問題，請讀者幫我給出答案。
我國著名教育家劉佛年說：“什麼叫創造？我想只要有點新意思、新思想、新觀念、新設計、新意圖、新做法、新方法就稱得上創造。我們要把創造的範圍看得廣一點，不要看得太神秘。” 在中小學數學學習過程中，“獨一無二”的標準也不必太高，在自己的視野裡有所創新，就可以了。
有一說一，培養思維的嚴謹性；舉一反三，培養思維的發散性；獨一無二，培養思維的創新性。做到三點，做數學學習的主人。
閱讀更多 從簡單開始 的文章
