衝刺中考49：操作，發現與探究例析

如圖1，把一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張紙片擺成下右圖2的形式，使B、F、C、D在同一條直線上，則AB⊥ED，試說明理由；

圖1

圖2

（2）發現

若PB=BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，並說明理由；

（3）拓展

請寫出一對相似的三角形，並給與證明.

【考點】三角形內角和定理，垂直的定義，矩形的性質，證明三角形全等，證明三角形相似.

【解析】（1）由矩形的四個角都是直角知∠C=90°，從而可得∠A+∠B=90°，由矩形的對邊平行，可知∠D=∠A，從而可得∠B +∠D=90°，根據三角形內角和等於180°，可得

∠BPD=90°，所以AB⊥ED；

（2）因為要找與條件“PB=BC”相關的三角形，所以可證Rt△ABC≌Rt△DBP；因為這兩個三角形都是直角三角形，所以可用∠B=∠B和邊“PB=BC”作證明的條件；

（3）①由（2）中Rt△ABC≌Rt△DBP知，Rt△ABC∽Rt△DBP；②由∠BMF=∠EMP,∠MFB=∠MPE=90°,知Rt△BFM∽Rt△EPM；③同②可知Rt△APN∽Rt△DCN；④由∠D=∠A，∠C=∠F，可證△ABC∽△DEF；等.

解：（1）證明：因為∠A+∠B=90°，∠D=∠A，

所以∠B +∠D=90°，

所以∠BPD=180°-（∠B +∠D）=180°-90°=90°.

所以AB⊥ED.

（2）答案不惟一，如：

Rt△ABC≌Rt△DBP，等.

證明：因為∠B=∠B，PB=BC，

所以Rt△ABC≌Rt△DBP.

（3）答案不惟一，

如：Rt△BFM∽Rt△EPM，等.

證明：

因為∠BMF=∠EMP,∠MFB=∠MPE=90°,

所以Rt△BFM∽Rt△EPM.