相似三角形與幾何知識的綜合應用非常廣泛，無論是平時的學習中，還是在中考裡這部分知識佔有一定的比例，所以同學們下決心學好它.
一.與三角形有關的問題
1.如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC於點G，AF⊥DE於點F，∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3，AB=5，求AF/AG的值.
【分析】(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，又∠EAD=∠CAD，∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)知△ADE∽△ABC，∴AD/AB=AE/AC=3/5，∵∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF≈∠CAG，∴△EAF∽△CAG，∴AF/AG=AE/AC，∴AF/AG=AD/AB≈3/5.通過等比代換，最終解出答案.
2.(1)如圖①，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長;
(2)如圖②，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的長.
【分析】(1)看圖，看條件，想到"手拉手"模型，想到△ACD≌△BCE，則AD=BE，算AD的長轉換為算BE的長，由條件可分析出∠BAE=90°，∴在Rt△BAE中，由勾股定理可求BE=9，∴AD=9.在這裡，熟知手拉手模型，AD轉換為BE是關鍵，否則很難算出AD的長，所以說，熟知常見的模型，靈活轉換是解題的重要方法.
(2)也是"手拉手"模型，只不過△ACD與△BCE不是全等關係，那麼要考慮相似關係，怎樣證明相似呢？由於∠ABC=∠CED=30°，則AC/BC=DC/EC=√3/3，再找夾角相等，從條件不難推得∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴AD/BE=AC/BC=√3/3，看來只要算出BE的長，則問題就能解決，而∠ABC=∠CAE=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°，∠BAE=90°，在Rt△BAE中，可求得BE=10，∴由AD/BE=√3/3，可得BE=10√3/3.
二.與四邊形有關的問題
3.如圖，在矩形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接DP，並延長交AB的延長線於點Q.
(1)若PB/PC=1/3，求AB/AQ的值
(2)若點P為BC邊上任一點，求證:BC/BP一AB/BQ=1.
【分析】(1)由於矩形ABCD，AB∥DC，AB=CD，則PB/PC=BQ/DC=1/3，∴BQ/AB=1/3，∴(BQ十AB
)AB=(1+3)/3=4/3，即AQ/AB=4/3，∴AB/AQ=3/4.
(2)要證結論，需進行轉換，分母變為相同，才能加減運算，∵BQ∥CD，∴PC/PB=PD/PQ，∴(PC+PB)/PB=(PD+PQ)/PQ，即BC/BP=DQ/PQ，∵BP∥AD，∴DQ/PQ=AQ/BQ，∴BC/BP=AQ/BQ，∴BC/BP一AB/BQ=AQ/BQ一AB/BQ=(AQ一AB)/BQ=BQ/BQ=1.
4.在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別與AB，BC邊相交於點E、F，連接EF.
(1)如圖①，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長;
(2)如圖②，將三角板從(1)中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究並解答:
①∠PEF的大小是否發生變化？說明理由;
②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經過的路線長.
【分析】(1)易證△ABP∽△DPC，∴AP/CD=PB/PC，在Rt△ABP中，可算出PB=√5，∴PC=2√5.
(2)①，探究∠PEF是否變化，可探究PF/PE的比值是否變化，如圖，
過F作FM⊥AD於M，可證△MPF∽△AEP，則PF/PE=MF/AP=2，在Rt△EPF中，tan∠PEF=PF/PE=2，∴∠PEF大小不變.
②線段EF的中點所經過的路線長為√5.理由:取EF的中點為Q，連接BQ，PQ，PB，如圖
∵∠EBF=∠EPF=90°，點Q為EF的中點，QP=EP/2=QB，∴點Q在線段PB的垂直平分線上，當E在B處時，點Q在BC的中點Q1處，當E在點A處時，點Q在PB的中點Q2處，根據三角形的中位線定理得Q1Q2=PC/2=√5.∴從開始到停止，線段EF的中點Q所經過的路線長Q1Q2為√5.
三.與圓有關的問題
5.如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線交BC於點F，交△ABC的外接圓⊙O於點D，連接BD過點D作直線DM，使∠BDM=∠DAC，求證:
(1)直線DM是⊙O的切線;
(2)DE²=DF×DA.
【分析】要證切線，D在圓上，連OD，證OD⊥MD，∵點E是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴OD⊥BC，須證MD∥BC，∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直線DM是⊙O的切線.
(2)如圖，連接BE，∵點E是△ABC的內心，∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∴∠ABE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，即∠BED=∠EBD，∴DB=DE，∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴DF/DB=DB/DA，即DB²=DF×DA，∴DE²=DF×DA.這裡DB等量代換DE是關鍵.
6.如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O於點D，直線EC交AB的延長線於點P，連接AC，BC，PB:PC=1:2.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)探究線段PB，AB之間的數量關係，並說明理由;
(3)若AD=3，求△ABC的面積.
【分析】(1)∵C是切點，∴連接OC，則OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠CAD=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠CAD=∠OAC，∴AC平分∠BAD.
(2)PB，AB之間的數量關係為AB=3PB，理由如下:∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，∵∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCB=∠PAC，∵∠P=∠P，∴△PCA∽△PBC，∴PC/PB=PA/PC，∴PC²=PB×PA，∵PB:PC=1:2，∴PC=2PB，:PA=4PB，∴AB=3PB，
(3)如圖，過點O作OH⊥AD於點H，
則AB=AD/2=3/2，四邊形OCEH是矩形，∴OC=HE，∴AE=3/2+OC，∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA，∴OC/AE=PO/PA，∵AB=3PB，AB=2OB，∴OB=3PB/2，∴OC/(3/2+OC)=(PB+3PB/2)/(PB+3PB)=5/8，∴OC=5/2，∴AB=5，∵△PBC∽△PCA，∴PB/PC=BC/AC=1/2，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，∴(2BC)²+BC²=5²，∴BC=√5，∴AC=2√5，∴S△ABC=AC×BC/2=5，即△ABC的面積為5.
閱讀更多 一個數學愛好者 的文章
