大約400年前，伽利略就曾表達過，
自然是由數學的語言書寫成的。從那以後，數學和科學——尤其是物理學——之間的關係就變得越來越緊密。然而不幸的是，宇宙並沒有一本指南，告訴我們哪些數學思想可以用來解釋哪些自然現象。有時候，數學和物理學的聯繫相對簡單。例如，伽利略發現了控制單擺運動和小球滾下斜坡的數學公式。但隨著物理學變得越來越難，數學也變得越來越難。當牛頓試圖理解，從一個時刻到下一個時刻，一個變量如何隨著另一個變量的變化而變化時，他發現需要一種全新的數學，也就是我們現在稱之為微積分的數學工具。當愛因斯坦發展廣義相對論時，他發現需要使用非歐幾何——幸好在大約60年前，德國數學家黎曼就已經發明瞭它。
事實上，今天的數學如此複雜，就連判斷兩個不同的數學分支是否有所關聯都困難重重，更不用說數學和物理世界的聯繫了。反之亦然：在一些物理學領域，我們仍在探索需要哪些數學工具，並學習如何發展它們。
這種糾纏不清的現象使得不同學科間產生了複雜的相互作用，物理學家可以向數學家學習，數學家也可以向物理學家學習。這就是大衛·蓋奧托（Davide Gaiotto）正在做的事情，恰好，他在圓周研究所擔任的是伽利略講座教授。
蓋奧托研究的領域是量子場論（QFT），這是模擬亞原子粒子行為的理論框架。量子場論的起源可以追溯到近100年前，當時人們首次嘗試將量子力學與電磁學等理論相結合。從那以後，量子場論在描述現實世界方面非常成功，量子場論的理論預測與觀測結果幾乎完美吻合。量子場論是粒子物理學標準模型的基礎，這個框架解釋了物理學中除引力之外已知的基本力——電磁力、強核力和弱核力。
然而，事實上，我們對量子場論仍然知之甚少。幸好，大約在20年前，弦論同時引起了物理學家和數學家的廣泛注意。弦論是構建一種量子引力理論的嘗試，因為弦論，數學家開始對量子場論產生興趣，而物理學家則對一些數學工具躍躍欲試。
這些數學工具很多都涉及所謂的朗蘭茲綱領——以加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）的名字命名。朗蘭茲綱領提議，在許多看似不相干的數學分支之間可以建立聯繫，或者橋樑，例如，在研究整數尤其是質數的數論，和涉及連續曲線和曲面的概念的
分析（微積分是最著名的例子）之間建立橋樑。
羅伯特·朗蘭茲。| 圖片來源：[2]
數論和分析看起來是完全不同的，數字是離散的，而曲線和曲面是連續的；它們為什麼會有關聯，並不是顯而易見的。但是朗蘭茲認為，我們只是不夠努力。
1967年朗蘭茲30歲的時候，給當時的數學巨匠安德烈·韋伊（André Weil）寫了一封長達17頁信。在這封信中，朗蘭茲將橋樑的性質描述為一系列猜想。在附隨的封面說明中，他謙虛地寫道：“如果您願意把它看作是純粹的推測，我會很感激；如果不願意，我相信您身邊就有一個廢紙簍。”
1967年1月16日，朗蘭茲給安德烈·韋伊寫了一封信，這是附隨的封面說明。| 圖片來源：[2]
顯然，廢紙簍是多餘的，因為朗蘭茲的論述說到點子上了。事實上，在過去半個世紀的大部分時間裡，數學家們都在試圖證明構成朗蘭茲綱領的各種各樣的猜想。朗蘭茲綱領有時被稱為“數學的大統一理論”。今年早些時候，朗蘭茲獲得了阿貝爾獎。（進一步閱讀《數學中的大統一理論 | 2018年阿貝爾獎》）
一個關鍵問題是，這些數學結構和量子場論物理之間聯繫的本質是什麼。它到底揭示了物理世界的什麼？
蓋奧托說，數學家們還遠遠不能完全理解量子場論，但至少他們正在學習去做那些物理學家不知道怎麼做的計算。數學家也在從中獲益，他們正慢慢接受量子場論中存在一大堆有待解決的知識這樣的想法。
多倫多大學的吉姆·阿瑟（Jim Arthur）同意這一觀點。他認為，朗蘭茲綱領和量子力學之間似乎存在令人驚異的類比關係：朗蘭茲綱領中出現的方程與薛定諤方程相似。薛定諤方程支配著量子系統的演化。如果將物理學家應用於薛定諤方程的同樣的分析應用於朗蘭茲綱領，就會得到離散的數字——分立能級的類似物。
換句話說，那些沉浸在朗蘭茲綱領中的數學家或許可以給那些依然掙扎在理解量子場論的物理學家一些東西；非常有可能的是，他們可以幫助物理學家更好地理解這些怪異的數學結構。
量子力學描述像原子中分立的能級這樣離散的對象，而大多數物理理論涉及的是連續的場。任何有助於將這兩種解析自然的方法聯繫起來的東西，都可能在粒子物理學的世界獲得回報。
蓋奧托的主要想法是一種被稱為幾何朗蘭茲對偶（geometric Langlands duality ）的東西——對於最初以代數幾何的術語表述的橋樑猜想的重新表述。
2006年，高級研究所的愛德華·威滕（Edward Witten）和加州理工學院的安東·卡普斯汀（Anton Kapustin）發現了幾何朗蘭茲對偶和S-對偶之間的一種聯繫。S-對偶是關於某些量子場論（如超對稱規範理論）的性質，有點類似於電和磁之間的聯繫，如果交換電荷和磁荷，數學結構保持不變，S-對偶就像是這種聯繫的超對稱版本。
威滕和卡普斯汀一直在研究聯繫幾何朗蘭茲綱領中各種數學結構的對偶，以及這些對偶與物理對象的關係。他們成功地證明量子場論可以預測這種關係的存在，並且某些數學對象可以編碼特定物理對象的性質。
他們還確定了哪些物理對象負責處於對偶的一側的最重要的數學對象。然而，他們缺乏一種通用的方法來從物理的一側轉換到數學的一側，以及對預測存在的物體做出物理描述。
蓋奧托的工作建立在威滕和卡普斯汀工作的基礎上。他和同事與威滕合作，發現了對偶的物理對象，但是他們無法立即找到一種計算相應數學對象的方法。
去年，蓋奧托終於有了避開主要的計算障礙所需的工具，他的突破揭示了物理結構和數學結構之間的聯繫。有了這些，就可以進行實際的計算了。
這個突破涉及到將頂點算子代數（vertex operator algebra）應用於這個問題。頂點代數就像羅塞塔石碑，可以幫助數學家和物理學家相互理解。蓋奧托證明，涉及物理對象的計算可以被當作頂點代數計算。為了將物理對象映射到頂點代數對象，他創建了一個“字典”。這項結果為許多數學對偶帶來了靈感，擴展了朗蘭茲綱領。
威滕認為，這個突破相當驚人。他在電子郵件中寫道：“蓋奧托在理解幾何朗蘭茲對偶方面取得了顯著進步。我很驚訝他是如何能夠在物理學方法所能理解的對象和數學家所能理解的對象之間架起一座橋樑的。”
2018年五月，威滕與蓋奧托在圓周研究所。| 圖片來源：PERIMETER INSTITUTE
現在，幾何朗蘭茲對偶這頭巨獸至少部分被馴服了，蓋奧托希望，數學家和物理學家之間的合作能夠繼續下去。他說：“我認為，在未來，物理學家和數學家之間的互動將會產生非常富有成果的進展。“
畢竟，研究的這些數學結構有著豐富的內涵，還有很多東西等著被發現。他說，這就像大航海時代的那些古老地圖，”你追蹤許多貿易線路，你瞭解幾塊土地，但地圖上99%都是海怪。“
蓋奧托還希望量子場論能獲得更多啟發。但是這很困難，因為數學世界非常豐富，儘管說自然是用數學語言書寫的，我們卻並不清楚是否所有的數學都適用於我們生活的宇宙。很有可能只有朗蘭茲綱領的一些部分會結出碩果，最終被證明與物理學相關。
蓋奧托覺得，這也沒有關係。他說：“就我個人而言，我是對量子場論本身感興趣。即使它在物理學中沒有任何應用，我仍然會繼續追求。它在物理學上的應用是一種額外的獎勵。”
參考鏈接：
[1] https://insidetheperimeter.ca/taming-langlands-program/
[2] http://projects.thestar.com/math-the-canadian-who-reinvented-mathematics/
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