►德國數學家彼得·舒爾茨被認為是2018年菲爾茲獎的熱門人選。圖片來源：波恩大學理論物理研究中心BCTP
撰文 | 楊 梟
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儘管今年的菲爾茲獎要在八月初在里約熱內盧的國際數學家大會（International Congress of Mathematicians，ICM）上才會正式公佈，但早在四月，維基百科就曾把彼得·舒爾茨（Peter Scholze）列為獲獎者，以表彰其在代數幾何領域的成就（後被撤掉）。
菲爾茲獎（Fields Medal），全名為國際傑出數學發現獎，被譽為數學界的諾貝爾獎。該獎項由加拿大數學家約翰·菲爾茲（John Fields）籌備設立，評獎條件極其嚴苛，每四年評選出2-4名具有卓越貢獻的青年數學家，且年齡不能超過40歲——既要表彰該數學家已經完成的傑出貢獻，又要鼓勵其在未來有新的建樹和發展。
中國代數幾何領域的青年領軍人物許晨陽曾開玩笑說，與生物學、物理學、化學等領域的研究者每年有幾天要守候諾貝爾獎委員會的電話不同，幸運的數學家過了40歲就可以放心地繼續做研究去了。
或許是為了讓將至40歲的傑出數學家不會留有遺憾，近幾屆菲爾茲獎的獲得者大多已到了40歲前的最後4年，然而舒爾茨還不滿31歲。這並不妨礙他成為奪獎的最大熱門。2016年，Quanta Magazine等科學網站預測[1]，舒爾茨極有可能獲得2018年的菲爾茲獎：“舒爾茨已經成為了世界上最有影響力的數學家之一，是每隔幾十年才會出現的稀世人才。”
彼得·舒爾茨在1987年出生於德國德累斯頓，他的父親是一名物理學家，母親是一名計算機科學家，姐姐是化學家，舒爾茨曾開玩笑地說他一家佔據了自然科學的各個領域[2]。上高中時，舒爾茨參加國際奧林匹克數學競賽獲得了三塊金牌[3]，這讓他發現了自己的數學天賦，並勵志成為一名數學家。高中畢業後，他進入了波恩大學繼續追求自己的理想。沉浸在數學中的舒爾茨如魚得水，他只用了三個學期就完成了學士學位，兩個學期完成了碩士學位。
2010年，關於數論的一個論壇盛傳著一條新聞，波恩大學的幾個博士研究生將哈里斯（Michael Harris）和泰勒（Richard Taylor）合著的一部長達228頁的數學證明（The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties）[4]簡寫到了37頁[5]，其中，舒爾茨找到了一種方法，成功避開了原書證明中最複雜的部分。兩年後，舒爾茨成為了波恩大學的教授。
舒爾茨學習數學的方法與大多學者不同，如他自己所說，他從不會去學習像是“線性代數”這樣的基本理論知識，他會直接去看自己感興趣的理論，當遇到了困難時，他才會去學習解決這個理論所需要的背景知識。
這種學習方法，源於他16歲時自學費馬大定理的證明。 在n大於2時，方程沒有整數解[6]，這就是費馬大定理。儘管這只是一個看似簡單的代數問題，但是它的證明涉及到許多前沿數學，數學界花了三百年才將其證明。舒爾茨通過了解這個證明，學習了模形式理論和橢圓曲線等相關知識。這也讓他對代數幾何學產生了濃厚的興趣。
舒爾茨主要研究利用幾何學工具來求解多項式方程，費馬大定理中最具突破性的工作在於採用p進數理論進行證明。p進數是數論研究中的有力工具。
2012年，舒爾茨提出了狀似完備空間（perfectoid space）的新概念及相關技術[7]，可以將p進數上的算術問題簡化。這個技術推廣了已有的定理應用，在其他數學家引入的空間中找到了實例，併為許多待解決數學問題提供了新的研究角度。
舒爾茨的工作屬於“朗蘭茲綱領”的範疇，該綱領的核心部分是關於數論、幾何和分析之間關係的一系列相互關聯的推測和定理。舒爾茨將朗蘭茲綱領拓展到了到“三維雙曲空間”以及更廣泛的結構，通過構建三維雙曲空間的狀似完備空間，他發現了一套全新的互反律。他的同事、同在波恩大學的數學家歐根·赫爾曼（Eugen Hellmann）曾評論說：“舒爾茨發現了一種至為簡潔與精確的方式來整合該領域之前的工作，這個優雅的理論框架可以超越所有已知的結果。”
儘管只有30歲，舒爾茨已經獲得了拉馬努金獎、費馬獎、萊布尼茲獎等多項數學界的至高榮譽，並且還謝絕了數學新視野獎。突如其來的名人效應讓舒爾茨有點無所適從，他儘量迴避有關成就帶來的干擾，而是專心於自己的研究和生活。
“我只是試圖瞭解本就已經存在的內容，可能在用我自己的語言重新表述出來。我並沒有覺得我真的開始做研究了。”他曾如此表示。
根據慣例，國際數學家大會會邀請當年的獲獎者做一小時演講。在今年的演講名單上[8]，除了舒爾茨還有另一個奪獎熱門喬迪·威廉姆森（Geordie Williamson）。
►喬迪·威廉姆森，澳大利亞數學家，悉尼大學教授。圖片來源：media.eurekalert.org
現年37歲的威廉姆森是澳大利亞科學院史上最年輕的院士，是群論幾何表示論領域的專家，他用代數方法成功證明了Kazhdan-Lusztig猜想，並在其中提出了一種技術手段可以解決群論中的諸多問題[9]。
此外，其他幾位數學家也被外媒預測為菲爾茲獎的熱門人選。
►西蒙·布蘭德，德國數學家、美國哥倫比亞大學教授。圖片來源：http://media.scgp.stonybrook.edu
德國數學家西蒙·布蘭德（Simon Brendle）在微分幾何和非線性偏微方程領域多有建樹。他解決了共形幾何中Yamabe方程的主要問題，證明了整體微分幾何中的基本問題微分球面定理，還證明了極小曲面理論中長期存在的問題Hsiang–Lawson猜想，並研究了黎曼流形之剛性定理的相關問題[10]。
►馬麗娜·維婭佐夫斯卡，烏克蘭數學家。圖片來源：克雷數學研究所官網（http://www.claymath.org/maryna-viazovska）
另一位是女性數學家。烏克蘭數學家馬麗娜·維婭佐夫斯卡（Maryna Viazovska）是瑞士洛桑聯邦理工大學的教授[11]。作為離散幾何領域專家，她用至為簡潔方法解決了8維空間的球體堆積問題並在模形式理論中有所成就。
►齊普里安·馬諾列斯庫，羅馬尼亞裔美籍數學家。圖片來源：加州大學洛杉磯分校官網
還有一位熱門人選是羅馬尼亞裔美籍數學家齊普里安·馬諾列斯庫 （Ciprian Manolescu）。馬諾列斯庫馬上就要40歲了，現在是加州大學洛杉磯分校的數學教授，主要研究規範場論和低維拓撲學[12]，在2013年他證明了在5維及5維以上的流型中，三角形解剖猜想不成立。
最後菲爾茲獎花落誰家，讓我們一起期待8月1日的國際數學家大會吧！當然，無論誰獲得這一獎項，數學的這場數學盛宴都為我們提供了一個機會，更好地瞭解前沿數學的發展與貢獻。
[1] https://www.quantamagazine.org/will-peter-scholze-win-the-fields-medal-in-2018-20160628/
[2] https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/
[3] https://www.imo-official.org/search.aspx
[4] Harris M, Taylor R. The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties. (AM-151)[M]. Princeton university press, 2001.
[5] Scholze P. The local Langlands correspondence for GL n over padic fields[J]. Inventiones mathematicae, 2013, 192(3): 663-715.
[6] Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat's last theorem[J]. Annals of mathematics, 1995, 141(3): 443-551.
[7] Scholze P. Perfectoid spaces[J]. Publications mathématiques de l'IHÉS, 2012, 116(1): 245-313.
[8] http://www.icm2018.org/portal/en/plenary-lectures
[9] http://sydney.edu.au/science/people/g.williamson.php
[10] http://www.columbia.edu/~sab2280/publ.html
[11]https://people.epfl.ch/cgi-bin/people?id=280037&op=admindata&lang=en&cvlang=en
[12]http://www.math.ucla.edu/~cm/
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