“一個甜甜圈和一個蘋果，究竟有什麼本質的不同？”正是這樣一個簡單的問題，卻開啟了數學領域上最重要的分支之一——
代數拓撲學。
圖片來源：tutti-dolci.com
這門學科的創始人，則是被譽為人類有史以來最偉大的天才之一的法國科學家龐加萊（Poincaré）。他的研究興趣極其廣泛，涵蓋數學、物理和科學哲學等諸多領域，是唯一一位入選當年法蘭西科學院所有五大部門——幾何學、機械學、物理學、地理學與航海學——的科學家。因此，他也被公認為世上最後一位偉大的科學全才。
圖1 龐加萊（1854-1912，圖片來源：維基百科）
龐加萊猜想，就誕生在對三維空間物體的拓撲性質的研究之中。它將與20世紀那些最偉大的數學家一起走過百年的風雨行程，最終揭開拓撲學中最輝煌、深刻的謎底。
橡皮膜幾何學
拓撲學脫胎於普通的幾何學與微積分，數學家則在其中著重研究曲面和其他數學對象的普遍性質。特別地，研究二維平面的拓撲學被人們戲謔地稱為“橡皮膜幾何學”。在日常生活中，二維拓撲學正在悄無聲息地為人們提供巨大的便利。時至今日，地鐵已經成為人們出行的必備交通工具。每一張橫豎交錯的地鐵交通圖就提供了一個二維拓撲學應用的典範。
圖2 北京地鐵路線圖（圖片來源：bjsubway.com/）
人們可以從地鐵的軌道交通圖中獲得巨大的出行信息。很少有人注意到，這張地圖提供的信息幾乎在每一個方面都是不精確的。它沒有按照比例製作，不能體現距離的遠近；甚至那些筆直的線路在現實世界裡也會變得蜿蜒曲折、左轉右拐。然而，它卻提供了另外兩個極其基本的信息。一個是沿途車站位於某標誌建築的相對位置，另一個則是車站的排列順序和換乘地點。乘客只能從這張粗略的地圖上知道何處換乘以及何處上下車的信息。
另外一個常見的例子就隱藏在家用電器的設備電路圖裡。它顯示了各個電子器件是如何通過電線連接在一起，卻並沒有規定這些電子器件的準確位置以及這些電線的長度和它們連接的路線。
這樣具有高度濃縮信息的簡單圖紙，只為使用者提供最有用的信息，而自動忽略其他所有細節。如果把地鐵圖印在一張極富彈性的橡皮膜上，然後進行適當的拉伸與壓縮，它就能被還原為真實比例的地理圖紙。但這樣的拉伸並不會改變線路把各個車站連接起來的樣式。這就體現了二維拓撲學的主要性質：扭曲和拉伸一個網絡中的任何連線，而不會改變其總體的佈局。如果要改變其佈局，必須增加或者斷開一條連線。
橡皮膜拓撲學隨後在當今的尖端科技裡發揮了巨大的威力，對電路圖、計算機芯片、電話網絡和互聯網等等都具有舉足輕重的意義，特別是在超級計算機的芯片設計、大數據時代下的萬物互聯起到決定性的作用。這就仰仗於網絡節點的拓撲設計水平。因此，一個更關鍵的問題就轉化為了解三維物體的拓撲性質。如果數學家能為三維空間的物體建立全部的拓撲分類，則將大大提高人們設計拓撲結構的能力。
“蘋果和甜甜圈”
20世紀初期，龐加萊即開始對高維空間的曲面——更抽象的對象稱之為“流形”——進行分類。一個最簡單的情況需要區分甜甜圈和蘋果的不同。龐加萊發現，如果在蘋果表面任意畫一個圈，並讓這個圈在表面光滑地滑動收縮，最終，這個圈會收縮為一個點。但是這件事在甜甜圈身上卻做不到。人們可以很輕易地在甜甜圈的環形面上畫出一個無法連續收縮成一個點的圈。這個性質引起了龐加萊的高度重視。為此，他提出了拓撲等價的概念：如果一個曲面，它上面的每一個圈都能夠在不離開該曲面的情況下而連續收縮成一個點，那麼這個曲面和球面拓撲等價。在此基礎上，龐加萊提出瞭如今的第五大千年之謎：一個具有圈收縮性質的三維流形是否一定和一個球面拓撲等價。
圖4：蘋果和甜甜圈（圖片來源：tutti-dolci.com）
歷史上，拓撲學的創立則是源於龐加萊和其他數學家試圖解釋牛頓和萊布尼茨發明的微積分理論中尚未闡釋清楚的問題，該問題蘊含著關於“無窮小量”分析的嚴格化要求。幾十年後，這門新興的學科即開始登上前沿科學的舞臺，併為世人提供無比慷慨的理論營養和應用前景。
揭開謎底
隨著人們對拓撲學認識的深入，它逐漸成為數學中最豐富多彩、魅力四射的分支之一，並開始在數學、物理學、工程學和其他科學領域孕育著重大的突破。比如物理學前沿的超弦理論正是建立在拓撲學的堅固基石之上，而超弦理論正是人們目前試圖理解宇宙構成的最具想象力的理論。也因此，龐加萊猜想被譽為拓撲學中的聖盃。
圖5 2016年三位物理學家因為發現物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而分享了諾貝爾獎（圖片來源：chinadaily.com.cn）
幸運的是，在千年之謎提出後僅僅5個年頭，數學家們就迎來了高舉聖盃的主人——俄羅斯數學家佩雷爾曼（Perelman）。在所有的千年之謎中，它是迄今為止唯一被摘取的璀璨明珠。人們為此感到歡欣鼓舞，期待著其它難題也不用讓後世的科學家等待太久，畢竟幾乎每一個難題都有愈百年的高齡。費馬大定理歷經358年才得以破譯的經歷還瀝瀝在目，歷史上無數最傑出的數學家也沒能等到破譯它的一天，成為個人與科學史上的遺憾。
圖6 佩雷爾曼（1966-）和龐加萊（1854-1912）（圖片來源：funnyjunk.com）
佩雷爾曼在證明龐加萊猜想的過程中做出了決定性的貢獻，在他的基礎上，來自美國和中國的數學家均對龐加萊猜想的最終完全證明貢獻了自己的力量。這一數學歷史上的盛事，亦代表著人類永攀科學高峰的決心和智慧，終將以其光榮輝煌的時刻永載史冊。
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