數學史上曾經發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。
悖論是一種認識矛盾,比如蘇格拉底說過：“我只知道一件事，那就是我一無所知。”這就是一個典型的悖論。
數學史上曾經發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。
第一次數學危機：畢達哥拉斯悖論
畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關係，即a^2=b^2+c^2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。
然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現了這個論斷的問題。他發現等腰直角三角形兩直角邊為1時，斜邊永遠無法用最簡整數比（有理數）來表示，從而發現了第一個無理數，希伯斯推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希伯斯拋入大海。
第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展，使幾何學在此後兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。
第二次數學危機：貝克萊悖論
十七世紀後期，牛頓和萊布尼茲創立了微積分，在實踐中取得了巨大成功。然而，微積分學產生伊始，迎來的並非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
第二次數學危機的出現，迫使數學家們不得不認真對待無窮小量△x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機，無數人投入大量的勞動。
第三次數學危機：羅素悖論
十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，集合論是數學上最具革命性的理論，初衷是為整個數學大廈奠定堅實的基礎。可是1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
時至今日，第三次數學危機還不能說已從根本上消除了，因為數學基礎和數理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決。然而，人們正向根本解決的目標逐漸接近......
閱讀更多 學一點數學 的文章
