1、 如圖 在 △ABC 中 ，AB = 4，AC=2，D 是 BC 中點，若 AD 是整數，求 AD 的長度？
第1題圖
解：延長AD到E,使AD=DE
∵ AB-BE＜AE＜AB+BE 即 1＜AD＜3
∴ AD = 2 。
2、 如圖，在△ABC 中 ， D 是 AB 的中點，∠ACB=90°，求證： CD = 1/2 AB 。
第2題圖
證明：延長CD 到 P 點，使 D為 CP 的中點，連接 PA 和 PB ，則四邊形 PACB 為矩形；
由矩形的性質可知 矩形的對角線相等且互相平分，所以 CD = 1/2 AB 。
推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
3、如圖，在五邊形 ABCDE 中 ，BC = DE，∠B = ∠E，∠C = ∠D，F 是 CD 中點，求證：∠1=∠2 。
第3題圖
證明：
連接 BF 和 EF ∴ △BCF ≌ EDF (SAS) ∴ BF=EF, ∠CBF=∠DEF
連接 BE ∴ ∠EBF=∠BEF
∵ ∠ABC=∠AED ∴ ∠ABE=∠AEB
∴ AB=AE ∴ △ABF ≌ △AEF ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4、如圖，在 △ABC 中 ∠1=∠2，CD = DE，EF//AB，求證：EF = AC 。
第4題圖
證明：
過點 C 作 CG∥EF 交AD 的延長線於點 G，由CG∥EF，可得 ∠EFD＝∠CGD ；
∴ △EFD ≌ △CGD EF＝CG ∴ △AGC為等腰三角形，GC = AC 。
易證 △DFE ≌ △DGC （AAS） ∴ GC = EF = AC 。
5、在 △ABC 中， 已知 AD 平分 ∠BAC，AC = AB + BD，求證：∠B = 2∠C 。
第5題圖
證明：
延長 AB 取點 E，使 AE ＝ AC，連接 DE
∴ △AED ≌ △ACD （SAS） ∴ ∠E = ∠C
∵ AC = AB + BD ∴ AE = AB + BD = AB + BE ∴ BD = BE
∴ △BED 為等腰三角形
∴ ∠B = 2∠C （三角形外角和定理） 。
6、如圖，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE 。
第6題圖
證明：
在AE上取點 F，使 EF＝ EB，連接 CF
∵ CE⊥AB ∴ △CEB ≌ △CEF ∴ ∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA ∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴ AD＝AF ∴ AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7、如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，點 E 在 AD上 。
求證：BC = AB + DC 。
第7題圖
證明：
在BC上截取BF=AB，連接EF
∴⊿ABE ≌ ⊿FBE（SAS） ∴∠A = ∠BFE ∴ ∠D = ∠CFE
∴ ⊿DCE ≌ ⊿FCE（AAS） ∴ CD = CF ∴ BC = BF+CF = AB + CD 。
8、如圖，已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠C。
第8題圖
證明：
E點是射線 BA,CD 的交點，則：△AED 是等腰三角形 。
∴AE=DE ∴ BE = CE (等量加等量，或等量減等量）
∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C。
9、如圖，點 P 是 ∠BAC平分線 AD 上一點，AC > AB，求證：PC - PB < AC - AB 。
第9題圖
證明：
在AC上取點E， 使AE＝AB；
∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB PC＜EC＋PE ∴ PC＜（AC－AE）＋PB
∴ PC－PB＜AC－AB 。
10、如圖， 已知 ∠ABC =3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC - AB= 2BE 。
第10題圖
證明：
在AC上取一點D，使得∠DBC=∠C
∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC = 3∠C - ∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰△ABD 中，點 E 一定在直線 BD 上，
在等腰△ABD中，∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB= 2BE 。
11、如圖，已知，點 E 是 AB 的中點，AF = BD，BD = 5，AC = 7，求 DC 的長度。
第11題圖
證明：
∵ 作 AG∥BD 交 DE 延長線於 點 G
∴△AGE ≌ △BDE ∴ AG = BD = 5
∴△AGF∽△CDF AF=AG=5 ∴DC = CF = 2 。
12、如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC於E，BF⊥AC於F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC於點M。
（1）求證：MB=MD，ME=MF ；
（2）當E、F 兩點移動到如圖②的位置時，其餘條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由。
第12題圖
證明：
（1）連接BE，DF
∵DE⊥AC於E，BF⊥AC於F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．
∴四邊形BEDF是平行四邊形． ∴MB=MD，ME=MF；
（2）連接BE，DF
∵DE⊥AC於E，BF⊥AC於F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴DE=BF． ∴四邊形BEDF是平行四邊形． ∴MB=MD，ME=MF。
13、已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點 。
（1）求證：△AED ≌ △EBC；
（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形，
（直接寫出結果，不要求證明）。
第13題圖
證明：
（1）∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC ∵E為AB中點 ∴AE＝BE
∴BE＝DC ∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE
∴△EBC ≌ △EDC ∴△AED ≌ △EBC
（2）略 。
14、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 是 ∠ABC 的平分線，BD的延長線垂直於過C點的直線於E，直線 CE 交 BA 的延長線於點 F，求證：BD=2CE。
第14題圖
證明：
易證 ∠FCA = ∠DBA
∴ △AFC ≌ △ADB ∴ FC = BD
再證 △BFE ≌ △BCE （或 △FBC 為等腰三角形）
∴ EF = EC ∴ BD = 2CE
15、如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF 。
第15題
證明：
（1）△ABF ≌ △AEC（SAS）；
（2）如圖，根據（1）知 △ABF ≌ △AEC，
∴ ∠AEC=∠ABF， 在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴ EC⊥BF 。
第15題答圖
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