我相信所有的家長都會面臨著一項極具挑戰性的任務，那就是尋找最佳途徑使孩子們的智慧，社交，情感，心靈還有精神等方面得以全面發展。作為兩個男孩子的父親，我清楚的知道這項挑戰有多麼的艱難。其中最困難的屏障在於處理孩子如何有效學習的問題。
對於70，80後來說，進名校，入外企，做公務員，不管出身如何，通過個人的拼搏，總是有機會踏上父輩們期待的那種---中產階級生活軌跡。
而我們的孩子們，他們面臨未來社會的環境和競爭，會遠遠超出我們這一代人的經驗可以理解的範疇。
可以想象，未來社會將是一個高度關聯，行業高度融合，跨界，知識高度遷移的智能社會，以往依靠智商和經驗的標準化，模式化的工作崗位，將會被各種各樣的智能機器所取代。
而我們的孩子，我們無法為其鋪路，因為他們以後即將從事的行業，百分之八九十現在還未誕生，授人以魚不如授人以漁，我們唯有教會孩子們思維多樣性，學會獨立思考，並運用所學知識（工具）解決未知問題的能力。
但令人崩潰的是現行應試教育體制，每個孩子都是這套流水線的複製品，千篇一律。評價機制單一，分數，嚴重抹殺了孩子們的想象力，創造力，嚴重挫傷了孩子們的學習興趣，探索精神。
由於提分的要求，孩子們在學習的過程中，變成的做題的機器，通過大量的做題來熟悉各種題型，在面對考試時形成條件反射，按照平常的“套路”去應試。變得知其然不知其所以然，學而不思。那數學來說，這種結果就是，只是記住了公式在推導後得到的結果，然後就“冒進”的帶入各種條件去“應用”，僅此而已。缺乏對問題本身的分析，推導，缺乏瞭解數學方法的內在邏輯和運作原理。
這樣的教育方式下，學習，對孩子們來說，自然是一件苦差事，毫無樂趣。
到底教育應該是什麼樣的呢？
Education,這個單詞，大家都認識。據說是蘇格拉底發明的，是三個詞根的拼寫，前面那個“E”是向外的意思，“duca”是引導，“tion”是名詞，引導出來。那麼，所謂教育，就是把一個人的內心，真正引導出來，幫助他成長成自己的樣子。
記得看過一期節目，撒貝寧，鄭淵潔主持，當時有一位家長講到自己的孩子在學校上數學課時遇到的問題：課堂上老師在黑板上畫了一個“0”，問孩子們這是什麼，除了這位家長的孩子說這是一個英文單詞“歐”，其餘孩子都說的是“零”。結果這位老師找到孩子家長，“語重心長”的說孩子智力有問題，讓家長帶孩子去檢查檢查。在以後的學習期間，也刻意孤立疏遠這個孩子......。面對這種情況，鄭淵潔老師說到“沒有教不好的孩子，只有教不好的老師”，“教育，就是應該以50種方法去教一個孩子，而不是用一種方法去教50個孩子”。
正如蘇格拉底對教育一詞的發明一樣，每個孩子都是與眾不同的，各有所長，所以怎麼可能用一種方法來教所有孩子呢？那麼，教育的正確打開方式是什麼呢？以下是我個人的一點想法，歡迎交流。
以數學學科為例。
數學是一切自然學科的基礎，科學之母。現實生活中的各種高大上都源於數學，舉個例子：導航，搜索引擎，人工智能等等，脫離數學，一切高端應用都是空中樓閣。這也是為什麼科幻小說《三體》中的三體人對地球的打擊，不是消滅地球的各種高精尖武器，而是不起眼的基礎科學，而基礎科學的基礎，恰恰是數學。可見，數學的重要性不言而喻。
那麼，數學打開的正確姿勢應該是什麼呢？
我個人認為數學的學習（其他學科也類似）應該分為三個層次，分別是基礎知識，思維方法，實際應用。
基礎知識也就是數學學科（算術，幾何，代數等）相應的知識點（體系），這個我不用多說了，應試教育體系已經把這一塊夯得相當牢靠了。不過我更喜歡把基礎知識理解，定義為“工具”。
思維方法就是平時課堂上除了要講授定理，公式和例題外，更應該講授這些定理是如何被發現的，重現數學創造的過程。前面講到，數學的起源，是人們為解釋，描述，解決實際生活中各種各樣的問題而產生的，其過程，本省就凝聚了大量的智慧結晶，數學創造的過程，本省就是寶貴的思維方法集合，通過重現，更加務實，生動，具體，接地氣的學習各種思維方法。
下面，我將從“數學能力”，“數學思考方法”及“教學形式”三個方面來打開數學。
一．數學能力
請問，當你聽到“數學能力”這個詞時，會聯想到什麼？我想應該有很多人會朝比較籠統的方向去想，比如說：
l 能夠快速且正確計算的能力
l 能夠快速解答應用題的能力
其實，我個人認為這些能力都跟數學能力沒有半毛錢關係。
數學能力並不等於計算能力，現實生活中的極為優秀的數學家和科學家中，也有不擅長計算的人。個人認為計算能力並不是必備的能力，因為現在隨便都能買到計算器，而且很多智能手機的語音識別功能，光靠一張嘴也能知道計算結果。
那麼“能夠快速解答應用題的能力”呢？其實這也不足以說明一個人是否具備數學能力。因為只要多接觸各種題型，懂得將問題分門別類，然後套用既定的解法，就能夠快速解答應用題（這就是校外眾多培訓機構快速提分的法寶）。
另一方面，將已知的題型分門別類並加以解析，是計算機最擅長的工作之一，因此擁有這項能力的人在步入社會以後，並不會像學生時期那樣受到肯定（這也就是我前面所提到，在未來社會，只會從事模式化，標準化，機械化工作的人，會被機器取代的原因）。我們人類所需具備的能力，是針對那些現實生活場景中尚未建立算法（處理方式）的未知問題提出解答方案，即使無法解答也要找出解答的方向。這才是真正的數學能力。
能夠快速計算，快速解答應用題，都是算術中相當重要的能力，這種能力並非數學能力，而是“算術能力”。算術和數學是兩種貌同實異的學問。算術是一門磨練你如何“迅速且正確解答已知問題能力”的科目，數學則是一門“培養你解答未知問題能力”的科目（這才是未來社會創造性人才所需要具備的核心競爭力）。
二．數學思考方法
思考方法歸納起來為以下幾種：數學式整理；圖形化；想象；發散關聯；抽象；建模
感覺怎麼樣？其中至少有幾項會讓你想到：“沒什麼了不起，這種思考方式好像平常就在使用了。”沒錯，現實生活中，我們的確有意識，無意識都在使用，所以，數學並非專屬於那些“有天分”的人。運用數學邏輯思考是任何人都做得到的事。但是能不能“有意識”的運用數學邏輯進行思考，卻是另外一回事。在無意識的情況下，我們如果不依賴“靈光一閃”和“直覺”等，就沒有辦法解決問題，也無法想出什麼好注意，但如果能夠了解如何運用數學邏輯進行思考，並且明確意識到這件事的話，不但能夠順利解決問題，而且必然能夠開拓出他人眼中的嶄新思維。同時，你說出口的話會格外具有說服力，讓人想不側耳傾聽都很難。在此，我誠摯希望這些方法能夠激發出孩子們的學習興趣，激發出孩子們體內潛沉已久的數學力。
1.數學式整理
數學式整理的目的在於獲取信息
這裡強調的“數學式整理”，是一種“把隱藏的信息推理出來”的行為，也就是通過明確的規則加以分類，運用數學方法等原則加以整理的行為。通過數學式的整理，我們可以把信息歸納的井然有序，但這並非整理的目的。獲得“新信息”，才是所謂數學式整理的終極目的。
通過分類推理出隱藏性質
舉個例子，賣場剛剛進了一批葡萄酒，如果你是賣場經理，你該如何分類擺放這批葡萄酒呢？
A. 按年份排列
B. 按產地排列
C. 按葡萄品種排列
當然這裡還有很多其他分類方法，這裡不去深究，能夠說明“推理隱藏性質”即可
先來說說 “A.按年份排列”，這種方法非常體面，大家都知道，美酒年份也常，價值越高，但除了“價值”這條信息以外，似乎再也推理不出更多有價值的信息。
那麼“B.按產地排列”的情況怎麼樣了，一提到產地，客人（假設具備葡萄酒知識）自然會想到世界上著名的十大產區，並根據產區聯想到那裡的氣候，日照，溫度，品種，口感等等諸多信息，然後根據個人喜好，做出選擇。
再來看看“C.按葡萄品種排列”,通過葡萄品種，客人根據其生長的地域，適合的釀造工藝，大致能夠推斷出味道。
通過這個例子，相信大家能夠理解，不同的信息分類價值。
下面我們把這種思維帶入到具體的數學應用中
假設現在有A和B兩個整數。我們來比較一下一下兩個式子
A+B=7
A*B=7
首先，從上面的式子中，我們可以獲得什麼信息呢？
A+B=7,由此，我們可以知道A和B的組合有無數組答案，可能是1和6，2和5，3和4，10和-3......
相對的，A*B=7又如何呢？可能的組合只有4種，即：1和7，-1和-7，7和1，-7和-1。
看到這裡，可能有人會說，“和”推理出的信息比“積”多，因此，以“和”作為整理分類方法比“積”好。但是，答案是否定的。因為我所謂的“信息”，指的是那些得到以後對我們有用的信息，那種只會造成混淆的無用信息反而越少越好。由於上面的例子是求出A和B的值，因此組合越少，對我們越有利。換言之，“積”提供的信心量比“和”多。
為了加深理解，再舉一個二元一次方程的例子
X2+5X+6=0
看到這個例子，也許很多人會說，這麼簡單，直接套二元一次方程公式，帶入數字，答案就出來了。這樣思考，沒錯，的確可以解答出正確答案。但我想說的是，這正是應試教育帶來的惡果，拿到題目，第一反應就是非常“冒進”的帶入各種條件按套路去解題，目標只有一個“答案”，完事大吉。
學而不思，機械化模式化。沒有著眼“問題”本身去作分析，換個視角看待問題，還有沒有其他方法呢？上面提到，“積”提供的信息量比“和”多，那麼，我們是否可以把X2+5X+6=0換一種“表達”方式，以“積”的形式展現，又會是什麼情況呢？按照這樣的思路（前面提到“解決問題的方向”），經過因式分解，可“表達”為如下形式：X2+5X+6=（X+2)(X+3)=0,是不是眼前一亮。
經過以上說明，你應該明白為什乘法（積）所提供的信息量比加法（和）多了吧。
2. 圖形化能力
數學是一門可以用語言，圖形，符號，圖表，畫面感等形式表達學科。因此，學會同一問題的不同表達方式，對於孩子們從不同視角認知世界至關重要。
接著上面X2+5X+6=0這個例子，我們來看看如果以圖形化的方式來認知這個問題會是什麼情況 。
X2+5X+6=0這個一元二次方程我把他稍做改變為X2+5X+6=Y，由此我們可以把Y看作X是自變量的一個函數表達式，而X2+5X+6=0是Y值為“0”的具體例子，那麼通過圖形化表達，我們會發現，X2+5X+6=Y是一條拋物線，如下圖：
這個圖形的特點是：以座標（-5/2，-1/4）為底，X=-5/2為中軸線，開口向上的一條拋物線。而X=-2和X=-3正是這條拋物線當Y=0是與X軸的兩個交點，這兩個交點正是函數Y=X2+5X+6，Y取0值時的解。具體解法過程不做闡述（屬於算術範疇，不在本文討論主題），通過圖形化表達（也算圖形化思維吧），我們把單純的代數問題變成了圖形問題，是不是更加直觀，形象，便於孩子們理解（低年級孩子更擅長形象思維而不是抽象思維）。
如果把思維再放開一點，從空間想象方面著手，整個圖形是不是“二維空間”，先賣個關子，具體闡述我會放在下面“想象能力”
記得陪大兒子做題的時候曾遇到一個很有意思的題型“相遇問題”，相信大家都不陌生，具體學校或者培優機構的解題套路我就不做具體闡述，這裡提出來的目的，是希望能幫助孩子們開拓視野，拓展思路。
再次提及，數學是“尋找規律和研究關係的活動”，“相遇問題”本質是研究“速度”，“時間”，“路程”的關係，按照傳統套路，就是一個線性關係，按照“畫面感”想象，以圖形表達，就抽象成“直線”上的問題（一維空間，請注意又在提空間）。
接著我將換一種思路來表達這個問題，因為重在思維拓展，為了孩子們更容易理解，我們把這個問題簡化一下，不考慮“速度”，放在二維座標（二位空間）來表達，是不是就“路程”就變成了“時間”的函數了（X2+5X+6=0這個例子的逆方向），那麼用圖形表達就變成了下圖：
兩條直線的交點就是相遇的時間和相遇的地點。
說到這裡，也許有人馬上就會說，如果把“速度”考慮進去，是不是可以建立一個三維座標系（三維空間）？答案是肯定的。能想到這裡，說明已經經過思考，具備一定的數學思維素養。這樣一來，我們的問題就由平面轉為三維立體空間，隨著維度（次元）的增加，這個世界變得複雜，精彩起來。簡單的相遇問題已經演變成高等的數學模型，為了解決這些問題，孩子們需要更高階的數學工具（線性代數，空間解析幾何），是不是更能激發孩子們的學習興趣，把被動，枯燥的填鴨式學習，轉化為自我驅動，探索的學習動力（STEAM價值主張）
3. 想象
4X3,當你看到這個算式的時候，你會想到什麼？
如果把4X3表示成這樣的圖形呢，是不是可以看成是邊長分別為4CM和3CM的長方形的乘積，得出的結果是“面積”。由“邊長”發展出“面積”，性質產生了根本變化，創造出了新的事物。是不是很神奇？
數學為什麼這麼迷人？其根源就在於“尋找規律和研究關係的活動”，通過對現實生活問題的思考，探尋其背後的普遍規律及本質，抽象出其模型，從而解決問題並創造新的事物。
比如，在進行乘法運算（二維空間）的時候，使用的數字似乎都具有不同的特性，例如行和列，縱和橫，速度和時間等。這應該是我們在理解數學當中的“次方”或“次元”時應該有的正確反映。一般而言，乘法運算就是一種使用不同性質的東西所進行的計算，計算的結果將會讓我們得到全新性質的東西（經過這麼一說，是不是一下對乘法有了全新的認識），有可能是面積，也有可能是移動的距離。於此同時，加法（一維空間）原則上就是相同性質的計算，因此最後得到的也是相同性質的答案。我們通常不太可能從加法的結果看見另一個全新的世界。
舉個例子，假設這裡隨意放置了兩根木棒，長度分別是4CM和3CM。如果使用加法的話，兩根木棒連接在一起，排列成一條直線，我們只會單純的得到一根7CM的木棒而已。
但如果使用乘法來組合呢，我們可以看到一個面積維12CM2 長方形，也就是通過“長度”，看到了全新的“面積”的世界。
換一種方式解釋。請想象眼前有一條支線，當直線上的點被決定為3或4時，它的位置就已經固定了。相對的，當我們以X軸為橫軸，Y軸為縱軸來考慮座標軸時，座標上的點就必須決定X和Y兩個值。也就是說，直線上的點只有一種自由度，平面座標軸的點則有兩種自由度。這種自由度在數學當中又稱為次元，次元一旦增加，世界就會急劇擴張。
“次元一旦增加，世界就會急劇擴張”這句話怎麼理解呢？讓我們天馬行空一下，以“穿越”為題材舉個例子（STEAM課堂形式，充分激發孩子們好奇心）。螞蟻和蝗蟲，螞蟻只能爬行，並不會跳躍，生活在平面世界（二維空間），而蝗蟲除了能爬行以外，還能跳躍，飛行，生活在立體世界（三維空間），當蝗蟲突然從螞蟻面前跳躍到螞蟻背後，因為無法認知二維空間以外的世界，對於螞蟻來說，蝗蟲是不是“穿越”過來的。
由這個例子受到的激發，我們是不是也能由這個思路去想象四維，五維乃至更高維度的空間，去尋求解釋諸如UFO,蟲洞，宇宙生命體等等未知問題的方向（STEAM價值主張）
4. 發散，關聯
對於知識的學習，孩子們應該多視角的來思考，應該經常練習自己把思維的焦點放在問題本省，而不是通過套路得出的結果。養成習慣，這個問題，除了這種方法，還有沒有其他方法？
還是舉一個我兒子作業中的例子
題目：已知∠1+∠2=180度，∠1是∠2的2倍，求∠1的度數？
是的，這道題目非常簡單
我們練習一下“數學式整理”，聚焦題目本省，儘可能多的獲取有效信息，
第一個條件：∠1+∠2=180度，這條信息讓我們的腦海裡呈現出什麼樣的“畫面感”，純數字信息，兩個數的和，有無限種組合；第二個條件：∠1是∠2的2倍，還是順著“數字符號畫面感”走，∠1=2∠2，走到這一步好像有點譜了。前面講過，為了儘可能多的獲取“有效信息”，應儘量把“和”的問題變為“積”來思考，通過∠1=2∠2這層關係，我們限定了∠1於∠2的自由度，那麼我們可以通過“代數”的思想來獲取這道題的解決方案。（具體解法這裡不做具體表述，以免浪費大家時間）
通過“數字符號畫面感”我們以“抽象”的方式找到了“代數”（學科）的解決方案。前面講到，數學是一門可以用語言，圖形，符號，圖表，畫面感等形式表達學科。這道題我們是否還能通過其他的思維方式來獲得新的解決方案嗎？答案是肯定的，下面我們來試試“圖形畫面感”。
還是著眼於∠1+∠2=180度，從圖形的角度來看，我們通過180度這樣的描述，獲取的有效信息是，這是一個平角，該平角由∠1和∠2組成，自由度還是很廣。緊接著，∠1是∠2的2倍這個關係型條件（數學也是研究變量於變量關係的一門活動），限定了自由度，從而我們能夠得知180度這樣一個平角被三等分，從而能夠推理出∠1的答案。
通過圖形畫面感我們又獲得了一種解決方案，這種方案的特點涉及的其實是“幾何”學科，更加直觀，具體。
是不是非常有趣，同一個問題，經過我們不同的視角去觀察，瞬間就“創造”出兩種解決方案，並且發現代數和幾何是有聯繫的，通過這種“發現”，是不是以後遇到代數問題，同樣可以幾何化，反之亦然？有了這種感覺，我覺得非常棒，已經慢慢建立起自己的數學素養，多提“為什麼”，學而要思！
5. 抽象
前面提到學習知識的目的，是應用知識（工具）來認知世界，解決日常生活中的常見，未知的問題。有的問題簡單易懂，輕而易舉就能解決，但更多的問題需要我們透過表象，從許多事物，眾多噪聲中，捨棄個別的，非本質的屬性，抽象出共同的本質屬性，推理出眼睛看不見的規則或性質。
因此，抽象化=推理出本質
舉個例子，假設這裡有一串數字“2，4，6，8，10，12......”，請問這些數字共同的性質是什麼？是的，這一串數字的規則都是偶數，所以這些數字的本質是“可以用2乘以整數來表示的數字”。前面我說過，數學是一門可以用語言，圖形，符號，圖表，畫面感等形式表達學科。當然，這串數字的本質我是以“語言”來說明的其本質，同樣，還是可以以“符號”來表示（發散，關聯思維，視覺多樣性），這樣就可以用非常簡單明瞭的“2N（N為整數）”來表示。
再舉一個數列的例子
如果說第一個例子，一眼就能看出其規則，那麼這個例子，光看數字的話，是不是很難“靈光一閃”看出這些數字的共同性質？但我們通過抽象化，瞬間可以簡單明瞭的呈現出這組數列的共同本質：後一個數字是前兩個數字之和。這就是抽象化的精妙之處。
前面提到，學到知識我們需要應用，單純玩數字遊戲太枯燥。其實，生活中隨處可見抽象化的是事例。比如分類，我們以動物舉例
現在有4中動物，分別是馬，鴿子，海豚和鷹
分類如下：
哺乳類：馬，海豚
鳥類：鴿子，鷹
為什麼這樣分呢？馬和海豚長得完全不一樣，海豚生活在海里，更應該是魚類啊？鴿子和鷹也截然不同啊，一個是吃素，一個是肉食？但是撇開這些不同點，馬和海豚都“以哺乳方式養育幼體，且都用肺呼吸”；而鴿子和鷹“全身長滿羽毛，且都能飛行”。找到這些共同點後，非別將四種動物非為“哺乳類”和“鳥類”，這就是標準的抽象化。
在舉一個現實生活中的例子
進入2018年，STEAM彷彿一下就火了，機器人，編程打著科學的旗號大行其道（在此不做評論）。拿編程語言（工具）來說，我是90年代的計算機系畢業生，那時流行的編程語言（工具）是BASIC，PASCAL（結構化語言），C++,JAVA（面嚮對象語言），面向對象編程語言就是一個很好的抽象化實例。面向對象編程語言有三個基本特徵：封裝，繼承，多態。
這裡拿封裝來舉例
封裝裡有一個基本單位“類”，在程序語言中，我們通過這個“類”把“屬性”和“方法”封裝起來，然後通過“方法”對“屬性”進行操所。（大家在這裡不必深入理解，只需記住“類”的概念即可）。
下面以“汽車”舉例（為方便大家理解，不考慮嚴謹性，汽車種類也不做細分）
封裝一個汽車類：
封裝的屬性：方向盤，引擎（馬力或排氣量）、輪子（最少4個）、車體（2座或4座或8座）；
封裝的方法：轉向操作（左右前後）；速度操作
我們知道，計算機只是機器，不會思考（人工智能，神經網絡也是通過一系列數學抽象模型，算法，建立起的思考，進化...），它最擅長的就是計算，那麼，如何才能讓計算機“認識”汽車，於是我們對“汽車類”抽象，通過一系列計算機能夠識別的語言抽象，搭建起了一座計算機能夠“認識，讀懂”汽車的橋樑。
抽象的話題遠遠比以上三個例子深邃複雜，在這裡只是拋磚引玉。
說到這裡，順便聊一下“題外話”，那就是“知識是會過時的”，所以思維方法更重要。還是舉編程的例子，我們那時學的BASIC,PASCAL，現在誰還會用，但那個時候學到的面向對象的思維方法，現在依然非常有用，比如現在很“火”的PHYTHON（BASIC,PASCAL,PHYTHON本質上都是工具而已，隨著時代的變遷，還會出現這樣那樣的工具，如果只停留在對工具的掌握，試問，學得完嗎？）。因此，清晰知道學習的三個層次（基礎知識，思維方法，實際應用）意義重大。基礎知識固然重要（只需通過一定時間的便能熟練掌握，屬於模式化），但思維方法才是指導你運用基礎知識解決問題的法門。知識是“術”，思維方法才是“道”。
6. 建模
在面對複雜的現實問題時，僅僅抽象出問題的本質還不夠，這裡就需要一種更深入的抽象化方法，那就是“模型化”，俗稱建模。所謂模型化，即是把複雜的現實簡化成單純的模型。
下面舉我來舉三個例子由淺入深“科普”一下
第一個例子：團隊建設
現代企業越來越重視團隊建設，協作。團隊的核心要素，是人，可人的能力，主觀能動性高低有別，因此在團隊建設上應採取不同的方法，基於這樣一種應用場景，我們建立一個簡單的模型，來說明什麼是建模。此例只考慮能力和主觀能動性因素，建立二維空間座標
能力高X意願高=委任
能力高X意願低=刺激
能力低X意願高=指導
能力低X意願低=命令
通過這個簡單的例子，相信大家對建模應該有一個感性認識了。
第二個例子：柯尼斯堡七橋問題
這是一個著名的數學問題，1735年由瑞士著名的數學家萊昂哈德.歐拉提出。問題是這樣的：從前，普魯士王國的首府科尼斯堡（今俄羅斯聯邦加里寧格勒），有一條名為普列戈利亞的大河流過。當時，這條河上總共建了七座橋，而不知從什麼時候，人們開始熱烈的討論一個話題“假設可以從任何一座橋出發，請問在七座橋都走且只走一遍的前提下，怎麼回到出發點？”
看到這個問題，大家是不是覺得似曾相識？是的，我當時的第一反應，好像和“一筆畫”寫一個字很像（大多數人的通病，看到問題，喜歡找套路，而不是聚焦問題本身，抽象化模型化問題）。
我們來看看歐拉是如何通過建模來簡化這個現實問題。
歐拉把真實世界的數學問題抽象簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的兩岸和小島視為點。示意圖如下
首先，他把焦點放在每一個O連結的線條數上。當連結O的線條數為奇數時，稱該O為奇點；反之為偶點。
以奇點為例，在一筆完成圖形的過程中，一旦經過此奇點，一入一出就會用掉兩條線，所以下次再進入此O時，不會有任何線可以讓人離開，換言之，第二次進去以後，就必須停留在原地，因此該奇點便成為了終點。至於偶點，由於進去和出去的路剛好組成一對，因此一律可以順利同行。
就這樣，歐拉發現，可以一筆回到原位的圖，O處必須全部是偶點才行。因為科尼斯堡問題的圖全部是奇點，因此，下圖無法一筆完成（圓圈裡的數字，代表與該O連結的線條數）。
雖然歐拉完全忽略了土地的形狀，面積，橋的方向和長度等條件，只留下點和點之間的連接，但他成功的把本質模型化了，這就是“能夠把複雜的現實簡單化”的模型化的精髓。
有沒有茅塞頓開的感覺？
第三個例子：會議安排
舉一個更接地氣的例子，如下圖：
日常公司企業都會遇到部門協作，跨部門會議等安排，如何高效，不衝突的安排會議，體現一個企業的管理水平，如果遇到上面這樣的會議情況，你是用什麼辦法來解決的呢？
在這裡，我還是用數學的思想來分析這個問題的本質，建立模型。
迴歸到這個問題的本質，應該思考“哪些會議不能在同一時段進行？”而根據此問題的本質，我們可以通過“圖論”（大學課程）來完成模型。
圖（1）中的❶~❻是六場會議的代號。接下來，我們將利用這張圖，把無法在同一時段進行的會議，用線連接起來。由於趙必須參與❶和❷，因此❶和❷不能在同一時段進行。於是我們把❶和❷用線連接起來，如圖（2）。
接下來，由於錢必須出席❸和❹，因此❸和❹也連起來，如圖（3）。同樣，把孫，李，周，吳各自必須出席的會議也用線連起來，就得到如圖（4）的圖像。
在圖（4）中所有用線條連接起來的會議，都無法在同一時段進行。現在我們可以根據實際來安排會議時程了。
如上圖，首先，我們先在❶的旁邊畫一顆☆記號,圖（5）。做完❶的記號以後，接下來就是從線條數較多（受限較多）的號碼開始篩選。在❷~❻中，有於❷的線條數最多，所以我們先看❷。由於❷和❶相連在一起，因此我們在❷的旁邊做一個◎記號，以跟❶的☆號區別，如圖（6）。接下來線條數較多的是❻。由於❻跟❶❷皆相連，因此我們在❻的旁邊做一個跟❶的☆和❷的◎不同的▲記號，如圖（7）。
剩餘的❸❹❺當中，由於❸和❺的線條數相同，所以誰先誰後無所謂，這裡我們先從❸開始。
❸雖然和❷❻連接在一起，但和❶並不相連，因此我們可以在❸的旁邊做一個跟❶一樣的☆記號，如圖（8）。
由於❺和☆◎▲皆相連，因此我們在❺旁邊做一個■的記號，如圖（9）。
最後的❹因為只跟◎和☆相連，所以可以使用跟❻一樣的▲記號，如圖（10）。
從完成的圖像可以看出，由於記號相同的會議，兩兩之間並不相連，因此可以安排在同一時段。根據以上結果，我們只要按照一下的時程安排會議，就可以用最有效率的方式，讓所有人都出席必要的會議。
10：30-12：00 （☆） 會議❶和❸
12：00-13：00 午休
13：00-14：30 （▲） 會議❹和❻
14：30-16：00 （◎）會議❷
16：00-17：30 （■）會議❺
跟抽象化相比，模型化是更深入的抽象化方法，做起來並不容易。但是，我們在面對複雜的問題時，只要試著排除那些無關緊要的信息，就可以理清頭緒，解決問題。
由於篇幅有限，越寫越多，在此我就不再列舉數學中的其他思維方法了，這方面的書籍也很多。中心思想就是想表達，我們在日常的課堂學習中，除了基礎知識的熟練掌握以外，應更注重思維方法的錘鍊，養成獨立思考的習慣，這才是以不變應萬變，適應未來社會的安身立命之本。
三．教學形式
孔子說“學而不思則罔，思而不學則殆”。
數學的學習，就是應該通過向學生提供很多具有鍛鍊價值的數學問題，引導並激發學生對於數學的學習興趣，給予他們充分的機會與空間來挑戰這些數學問題，而不僅僅是照本宣科去講解那些程式化的方法。而傳統的數學教學模式下，老師站在講臺上花費幾十分鐘的時間證明定理及方法，學生則在下邊將老師的板書抄在自己的筆記本上，然後再通過反覆練習相同的題型來鞏固之前學到的數學方法。
這就造成一種事實，學生們是在通過一種被動的方式學習並去記憶相關的數學方法（本末倒置，數學恰恰是最不需要死記硬背的學科），而不是以提問，探索的自主方式來掌握數學方法。
在這種被動式數學教育模式背景下，學生們需要記憶數以百計的解題方法（套路），並在掌握這些套路的前提下來解題，而當套路變換為一種新的模式形態時，學生們往往就會感到手足無措，這種形而上學得學習方法讓學生們感到沮喪，這也就間接導致了他們數學成績不理想以及對數學學習的恐懼感。
實際上：在數學的學習過程中，真正需要去記憶的東西其實很少（今日頭條上就有很多數學自媒體，經常發一大堆套路，稱只要記住這些套路，公式，定理，就能得高分等等。悲哀，誰讓提分是剛需呢？），大多數得數學問題都可以通過對數學概念得理解並結合主觀能動性得推理來得以解答。
數學本應該是一門結合“設計問題，推理思考，論證解答”這三個重要環節得學科，但是在經過這樣長期的被動式數學教育洗腦之後，學生們本省具有的“以問題為導向”的能力正在逐漸的消失。他們開始慢慢適應了這種反覆背誦並記憶各種定理概念的模式，而放棄了原本所具有的追尋事物本源的先天潛質。
前面提到教育一詞Education的解釋，尊重個體，引導，激發。
下面我們一起來探討一下新的教學方式對孩子們自主學習，引導激發想象力創造力的作用。
一．相互交流的學習方式
課堂形式以問題為導向形式討論（STEAM價值主張）
被動式數學教育模式下，學生們通常被要求上數學課時保持安靜。表面上看，這種課堂氣氛有可能是一種極佳的學習環境，但事實產生的教學效果卻截然相反。這種教育模式會產生一系列負面反應。其中之一是，這種教學方法沒有鼓勵學生們將從老師那裡學到的知識，經過自己的頭腦加工後再複述出來。這就造成一種假象：學生們把黑板上的數學公式及定理抄在筆記本上，而且在反覆記憶後，“感覺”自己已經掌握了有關知識，但事實上，學生們依舊仍未掌握，因為學而不思，知識只停留在表層印象上，，並未理解透徹。“感覺”和“領悟”還是有天壤之別。
要想判斷學生們到底是對所學知識是留在表層印象還是已經透徹理解，只需考察他們處理實際複雜問題的能力，而並不僅僅是讓他們去做簡單的數學運算，學生們應該多與他人交流並以此來展現自己對數學定理概念的獨到見解。
前面提到，數學最重要的研究方法就是“設計問題，推理思考，論證解答”，學生們在進行數學研究過程中，一方面要在推理論證環節下功夫，另一方面，就是將題目中各環節的內在數學邏輯關係明朗化。學生們的這些過程也就是探尋學習數學意義何在的過程。每當在解答題目時，學生們都應該仔細思考最終結果的合理性，這裡的判斷依據應該以客觀的數學定理和準則為基礎（批判性思維），而不是去參考教材或是老師的觀點。
推理和論證都是學習數學時不可或缺的重要方法，如果缺少了在學習過程中與他人的相互討論和交流，那麼將很難把這兩種方法完全掌握。
不得不說，給予學生們在課堂上充分討論的時間十分關鍵。隨著課堂討論的開展，學生們會逐漸發現，他們不僅僅是將教材中的數學方法和理論做簡單的提煉總結，而是通過表達自己的數學思想，各類計算方法，從而形成“自己獨樹一幟的數學風格”，並運用自己所形成的數學思想去開拓新視野，研究新方法，形成新理念，從而架構起一套屬於自己的完備的數學理論體系。
在課堂上討論，可以使學生們對自己工作成果的理解更加深入透徹，還可以幫助他人拓寬解題思路。之所以能讓自己理解得更為透徹，是因為當我們想把自己得數學思想用語言表達出來時，我們需要在大腦中對這些思想進行語言組織，而其他學生作為聽眾對我們的觀點做出反應時，就需要在大腦中將接收的語言轉換為相關的思想概念。這一系列的生理反應同時加深了雙方對數學知識的理解深度。而如果是我們自己獨自面對數學問題時，只能憑藉自己的個人能力去尋找突破口。
當然，開展這種課堂討論並不意味著學生們需要去開口說個不停或者天馬行空採用任何討論形式，需要老師組織起有效的討論形式，並適當的在集體討論和獨立思考這兩個環節分配時間。
二．課題式的教學模式（STEAM價值主張）
基於課題式的教學模式減少了對學生在課堂上的硬性要求和控制，代替了傳統教育中“老師講，學生做”的固有模式。通過佈置實際課題的方式，讓學生們在解決實際問題的過程中去學習數學，這些實際課題通常包含了在階段學業期間學生們需要掌握的知識和方法。
在每一次開題前，教師都應向學生們引入一個實際問題或背景問題，以便為學生們在接下來的探索鋪平道路。（可參考5E教學法）學生們則可以發揮自己的想象或運用已掌握的數學方法來引領自己。課題中的問題應該比較開放，以便學生們根據自己的學習興趣制定個性化的學習方案。比如：“某物體的體積是186立方米”，學生們需要基於該條件去思考“某物體”的各種特徵，比如說這個物體的維度是多少，外形是什麼樣子......有時在學生們著手開始新的課題前，教師應提前告訴學生們一些必要的數學知識，以便在之後的探索學習中使用。基於這種設計，更有意思的是，當個別學生或學習小組在課題項目進行到某以階段遇到難題或需要額外知識延伸時，教師應根據他們實際工作的進展情況做引導，講解，以激發學生們更大的學習興趣。
三．問題設計
問題設計應以現實生活為背景（STEAM價值主張）
問題的設計初衷是，讓學生們在學習數學時感受到數學其實是和日常生活緊密聯繫的。但是問題的設計要充分發揮效果還是有前提條件的，那就是數學問題是否能夠很好的融入現實背景，並且足以引起學生們的學習興趣，有利於他們對問題進行數學建模。
四．數學學習的評估
對於數學學習開展評估的前提是學生們對於所學內容有一個清晰完整的認識，並且能意識到自己離真正完全掌握這門學科還有多大差距，以及為了在數學方面更進一步需要在哪些方面做出改善。
評估數學學習方法分三步
第一步：與學生交流。包括讓學生說出教師到底在課堂上講了些什麼，以及自己在接下來準備去做什麼。
第二步：讓每一位學生都認識到自己應該怎樣去做才能取得學業上的成功。
第三步：結合學生對數學的認識，給予他們相應的學習建議，來促使他們取得成功
評估的原則：“為學習而評估”而不是“對學習的評估”。通過評估獲取每一個學生的學習信息，為學生服務，以幫助他們在數學學習過程中取得更大的進步和更高水準的學業成功。
最後，我以愛因斯坦對教育的解釋來作為本文的結尾，“所謂教育，就是忘掉學校裡所學知識以後所剩下的本領”。
因此，在傳統應試，單一評價體系下，成績差點沒關係。培養活躍的思維，養成擅於解決現實生活中各種未知問題的能力，比基礎知識和基本技能更重要。畢竟，人生是長跑。
以上是個人對於數學教育的一些粗淺認知，畢竟我不是數學專業，也不是教育人士，可能有些實例，言論不夠嚴謹，還請包涵。
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