一．模糊數學產生的基礎
在數學發展過程中，數學的對象都是明確無誤的。數學的語言，數學的方法，數學的思維方法都是要表述數學對象的確定性，而且更為重要的是數學的語言可以準確區分日常語言的模糊性。數學的概念，數學的命題從來都是確定性的表達，就是在概率論中討論研究隨機現象時，我們所討論的對象本身存在的確定性也是毫無疑問的，因為一種現象要麼出現，要麼不出現這是確定的。
例如，一個集合是指具有某種性質的事物全體。一個元素要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合。二者必須有一個明確的存在。
在日常語言中“是”或“非”的引用就很容易引起混淆。“是”在日常用語中可以有多種表示的含義，但是集合論的語言表述卻可以把“是”的不同語意準確地區別開來。也就是說，集合論中的語言在表述“是”的語意時與日常語言是有差異的。例如：
表示相等：“能被2整除的數是偶數”（此處“是”表示集合相等）
表示相屬：“2是偶數”（此處“是”表示元素屬於集合）
表示包含於：“能被6整除的數是偶數”（此處“是”表示子集包含於全集）
同樣的道理，對於“非”的日常用語中，我們也可以分別有“不相等”，“不屬於”，“不包含於”等多種解釋。中國古代曾有公孫龍“白馬非馬”之辯。如果我們用數學的語言來分析“非”的含義，當“非”作“不相等”時，可知這個命題是正確的。但是若把“非”作為“不包含於”來解釋，就會得出“白馬”這個子集不含於“馬”的集合之內，顯然這種解釋就不正確了。從這裡人們就可以看出，用數學的語言表現差異，是最精確，最簡便的。
數學是人們對客觀世界的一種思維表示形式，然而在主觀世界中還確有那些沒有明確界線，亦此亦彼的現象。許多現象得差異在變化，過渡，差異性在變化得中間階段互相融合。非此即彼得對立往往會在經過中間狀態時相互過渡。例如，年輕，漂亮，高個子等現象就很難用一個確定得數學集合論中得差異性給予明確得表示。表述差異的一方到差異的另一方（如從年輕到年老），中間經歷一個從量變到質變的連續過渡的過程。這種差異的中介過渡，如果要用一種數學的形式表述出來，就是一種模糊性的數學，即要在中介過渡性的狀態中用數學表示出它的不確定性。
二．模糊數學的基礎理論
數學明確化的理論基礎是集合理論，它把數學對象的確定性，差異性準確無誤地表述出來，數學各種分支都以集合論作為理論的基礎。模糊數學的發展也正是從有關模糊集合的觀點來展開模糊數學的理論研究。
模糊數學認為，普通集合是一個明確的集合。對於這種集合，一個事物與它有明確的隸屬關係，要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合。如果把這種特徵看作是一種函數關係式，則可以寫成
1，當u∈A時
A(u) = ｛
0，當u
A時
這裡的A（u）,稱為集合A的特徵函數。
對於模糊集合，一個事物與它沒有“屬於”或“不屬於”的絕對分明的隸屬關係。也就是說，一個事物可能有一大部分或一小部分屬於這個集合。即一個事物屬於這個集合處於“亦此亦彼”的模糊狀態。
例如，“年輕”是一個模糊概念，確定一個人是否年輕是困難的，因為它沒有明確的界線。現在我們用模糊集合的方法就可以劃分一個人的年輕“程度”。
取論域U=[0，100]（年齡）。設描述“年輕”的集合為Y。年齡u屬於Y的隸屬度為
1 ， 0≤u<25
Y(u) = ｛[1+((u-25)/5)2 ]-1 25≤u≤100
由Y（23）=1，Y(40)=0.1可知23歲的人隸屬年輕的程度為100%，而40歲的人隸屬於年輕人的程度為10%。
有關隸屬函數的選取，是模糊集合中一個較為複雜的問題，目前尚無固定和通用的模式。普通集合與模糊集合有著內在的聯繫，當隸屬函數u(u)只取[0，1]閉區間的兩個端點值0，1時，隸屬函數就退化為特徵函數A（u）,從而模糊集合也就轉化為普通集合了。
模糊數學作為一門新興的學科發展迅速。有的學者甚至稱模糊數學是整個數學發展的第三個里程碑。數學界目前對此說法尚有爭議，但不可爭辯的事實是，模糊數學無論是它的理論基礎還是實際應用，都得到了廣泛的認同和發展。在基礎理論方面，模糊數學研究的課題已經涉及數學的許多分支。在實際應用方面，模糊數學已經在物理，化學，生物，醫學，心裡學，氣象學，工業技術，人工智能等眾多方面都取得了顯著的效益。
三．模糊數學思維方法的啟示
模糊集合的出現即模糊數學的發展，是對傳統數學方法，數學思維的一個衝擊。
傳統的數學概念，數學理論與數學方法，都是界定，分析和處理事物的差異，並在數學的意義上使差異確定化，數量化或構造化。然而，模糊集合的出現，打破了傳統數學的思維方式，它把事物差異的不確定性帶入了數學的範圍。它把以往數學未曾進入的模糊不清的中介狀態引入了數學思維的範疇。模糊數學的思維使以往思維中的排中律出現了困難，因為模糊數學允許對處於中間狀態的事物給予數學的表述。在思維方式的意義上來說，模糊數學擴大了數學思維的領域，使數學涉足了它以前未曾涉足的或者說以前無法表現的領域。
模糊數學在處理數學問題時，採用的方法是用“隸屬函數”所表示的“隸屬程度”來表示此物“亦此亦彼”的模糊性。從思維方法的意義上分析，模糊數學在處理確定於模糊這一對矛盾時，使分明性，確定性處於主導地位，即用確定性隸屬程度來判斷模糊性。模糊數學是用已有的明確性的數學方式來逼近模糊狀態，用確定性的數學形式，數學方法把處於中介狀態的事物描述出來。從用隸屬函數把“亦此亦彼”的中間狀態數量化的意義上來分析，模糊數學創立了一種新的數學思維方式，同時給出一種使用隸屬函數的新數學方法。也正是隸屬函數的建立，才使模糊數學取得了廣泛的成功。
模糊數學作為思維方法給我們如下三點啟示。
第一，數學思維是人類最不受限制的可探索一切領域的思維形式。數學思維可以考察偶然發生的隨機事件，並尋找其背後的規律，同時數學思維也可以把模糊不清的中介狀態，給出明確的數學表述。
第二，模糊數學的思維方式擴大了數學的應用領域。不僅在數學自身的領域，更重要的是在信息革命的計算機領域。利用模糊思維的方式，計算機將大大提高模糊識別，模糊選擇，模糊決策的能力。
第三，模糊數學的方法及其思維方式，在方法論的意義上，使人們對“同一”與“差異”的理解有了新的啟示。普通集合論就是利用同一與差異來進行數學描述的。普通集合論是指具有某個同一性質的事物全體，與同一性質有差異的就被排斥在外。現在模糊數學為這種同一與差異做出了新的解釋，在隸屬程度的意義下，把差異與同一聯繫起來，並且將“部分的同一”數量化，這無疑是對數學方法論的重大貢獻。
閱讀更多 STEAM新數學 的文章
