歐洲文藝復興之後，科學也也迎來大發展時代，而出於實際的需要，天文和航海等領域的研究更是進行得如火如荼。但到了十六世紀後，科學家們往往會被一個問題所困擾，那就是處理數據時所進行的複雜數字運算。為此，不少數學家都在尋找一種可以減少計算量的更先進的數字處理方法，對數的概念也就應運而生。以今天的眼光來看，對數的發明無疑是數學計算史上革命性的里程碑事件。
對數的概念萌芽於德國數學家施蒂費爾(Stifel)，他在自己1544年的著作《整數算術》中詳細探討了幾何級數1，r,r^2,r^3……中的各項與其指數之間的關係，例如我們今天所熟知的兩數相乘所得之數的指數為原兩數指數之和，更進一步，他還將這種運算規律推廣到了指數為負數和分數的情形。如今這樣的規律初中學生都已熟知，但在施蒂費爾的時代，這樣的問題仍是模糊的，甚至在當時並沒有“指數”這樣的概念。但可惜的是，限於時代的陳舊觀念，施蒂費爾並沒有提出類似於對數的概念，遺憾地錯失了這次數學大發現和名垂千古的機會。
發明，或者說發現對數的重要功勞當屬蘇格蘭數學家納皮爾。納皮爾(John Napier,1550~1617)本是蘇格蘭地區的貴族，對天文學尤其是相關的計算很有興趣，擅長於把天文問題轉化為球面三角的問題。如今沒有資料顯示納皮爾產生對數概念的具體過程，但這顯然與他長期從事天文計算研究相關。大約在1594年，納皮爾得到了對數概念的雛形，為此他專門寫信將想法告訴了當時著名的天文學家第谷(Tycho Brahe,1546~1601,近代天文學奠基人，開普勒的老師)。
而後經過長時間的思考，納皮爾的對數概念開始逐漸清晰起來，和當時的傳統做法一樣，納皮爾需要著作來詳細闡釋他的思想，為此他完成了兩本著作：《論述對數的奇蹟》(1614)和《做出對數的奇蹟》(1619)。納皮爾的出發點與之前的施蒂費爾完全不同，他藉助了物理中的直線運動和連續幾何變量來引入對數。
納皮爾的思路大致如下：
假定質點P沿著一有限直線AZ運動，另一質點Q沿著一無限長直線 A'Z'運動。兩個質點開始運動時的初速度相同，Q的速度保持不變，而P的速度則以如下方式變化：在其路徑上任意一點B的速度與該點到終點的距離即|BZ|成正比，設比例係數為1。如果當P點位於B時，Q點位於B'，則將|A'B'|稱為|BZ|的對數。
但值得注意的是，在納皮爾所處的時代裡並沒有微積分理論，所以關於運動，尤其是速度，無法給出準確的數學描述，因此納皮爾的定義以今天的眼光來看並不夠嚴格，而且實際上，他給出的描述比上述還要複雜許多。為了使得上述描述看起來簡單一些，我們只需利用非常少量的微積分語言如下：
令AZ=a，BZ=y，A'B'=x，因此AB=a-y。
以t表示運動時間，於是P點在B處的速度可表示為d(a-y)/dt。
那麼由題設條件，有d(a-y)/dt=y。
再由初始條件：t=0時y=a。
最終解上述的常微分方程得：x=a(lna-lny)。
而按照定義，x就是y的對數。
在沒有指數概念和微積分的時代裡，納皮爾能夠突破傳統束縛給出對數的定義，的確是算得上是居功甚偉。不僅如此，納皮爾還將自己的發明命名為“對數(Logarithm)”，意思是“比產生的數”，而這一命名也沿用至今。而對數的發明也產生了數學史上的奇觀，那就是更為複雜的對數卻比簡單又明確的指數更先被定義出來。直到1728年，偉大的數學家歐拉才首次明確指出對數和指數間的互逆關係，他也首次提出如今我們常用的自然對數的概念，此時距對數的發明已過百年之久。而我們如今所使用的的對數符號則是意大利著名數學家，積分學先驅卡瓦列裡(Bonaventura Francesco Cavalieri ,1598～1647) 首先提出的。
然而發明對數的功勞卻並不只屬於納皮爾一人。前面我們介紹過施蒂費爾的發現，不幸的是他卻錯過了發明對數的機會，但在他之後卻有人沿著他的道路再次“發明”的對數，這就是比爾奇。比爾奇(Joost Burgi,1552~1632)原本是瑞士的一名鐘錶儀器製造工人，和納皮爾一樣，比爾奇也對天文學非常感興趣，而且也積累了相當的知識，後來在布拉格曾當過著名天文學家開普勒的助手。在完全不知曉納皮爾工作的情況下，比爾奇在1600年利用施蒂費爾關於“指數”對應的思想，重新定義了對數的概念。但他的結果在20年後才正式發表，比納皮爾稍晚，而且在多方面因素的影響下，納皮爾成為了數學史上發明對數的“正宗”。
納皮爾發明對數是為了簡化球面三角的運算，所以實際上他給出的是三角函數值的對數，但這樣的定義無形中增加了計算對數的困難。在1615年，當時的數學家和天文學家布里格斯(Henry Briggs,1561~1631)向納皮爾提出了一項建設性的意見，用今天的話來說，就是把一個數的對數定義為以10為底情況下這個數的指數，這樣就使得對數的計算簡單了許多。自此之後，大量的數學家利用各種各樣的方法，計算並製作了許多數據龐大而詳盡的對數表，例如1624年，布里格斯出版了《對數算術》，公佈了以10為底的包含1~20000及90000~100000的14位常用對數表。
而在沒有計算器的時代，這樣的對數表對數學家，天文學家和航海家等來說，無疑就如“救世主”一般。關於對數的重要性，最著名的評價無疑是伽利略的名言：給我空間，時間和對數，我就可以創造整個宇宙！著名的拉普拉斯也說過：對數的發明極大的延長了天文學家們的生命。
而對數表退出歷史舞臺，讓位於先進的計算機，也只不過是近幾十年的事而已。
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