「人工智能」No.15 數學分析之導數

【導讀:當今人類即將或者已然了進入智能時代,這是·情報通·人工智能科普系列第[15]篇文章,歡迎閱讀和收藏】

1 基本概念

1. 導數

導數( Derivative )是微積分中的重要基礎概念。當函數 y=f ( x )的自變量 x 在一點 x0 上產生一個增量Δ x 時,函數輸出值的增量Δ y 與自變量增量Δ x 的比值在Δ x 趨於 0 時的極限 a 如果存在, a 即為在 x0 處的導數,記作 f' ( x0 )或 df ( x0 ) /dx 。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話,函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中,物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。不是所有的函數都有導數,一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。然而,可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

對於可導的函數 f(x) , x ↦ f'(x) 也是一個函數,稱作 f(x) 的導函數(簡稱導數)。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上,求導就是一個求極限的過程,導數的四則運算法則也來源於極限的四則運算法則。反之,已知導函數也可以倒過來求原來的函數,即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作,它們都是微積分學中最為基礎的概念。

「人工智能」No.15 數學分析之導數

2 術語解釋

2.1 導數公式

設函數 y=f ( x )在點 x0 的某個鄰域內有定義,當自變量 x 在 x0 處有增量Δ x ,( x0+ Δ x )也在該鄰域內時,相應地函數取得增量Δ y=f ( x0+ Δ x ) -f ( x0 );如果Δ y 與Δ x 之比當Δ x → 0 時極限存在,則稱函數 y=f ( x )在點 x0 處可導,並稱這個極限為函數 y=f ( x )在點 x0 處的導數

2.2 導函數

如果函數 y=f ( x )在開區間內每一點都可導,就稱函數 f ( x )在區間內可導。這時函數 y=f ( x )對於區間內的每一個確定的 x 值,都對應著一個確定的導數值,這就構成一個新的函數,稱這個函數為原來函數 y=f ( x )的導函數,記作 y' 、 f' ( x )、 dy/dx 或 df ( x ) /dx ,簡稱導數。導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了貢獻。

2.3 導數的幾何意義

函數 y=f ( x )在 x0 點的導數 f' ( x0 )的幾何意義:表示函數曲線在點 P0 ( x0,f ( x0 ))處的切線的斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。

3. 詳細說明

計算已知函數的導函數可以按照導數的定義運用變化比值的極限來計算。在實際計算中,大部分常見的解析函數都可以看作是一些簡單的函數的和、差、積、商或相互複合的結果。只要知道了這些簡單函數的導函數,那麼根據導數的求導法則,就可以推算出較為複雜的函數的導函數。

3.1 函數可導的條件

如果一個函數的定義域為全體實數,即函數有定義,那麼該函數是不是在定義域上處處可導呢?答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件。首先,要使函數 f 在一點可導,那麼函數一定要在這一點處連續。換言之,函數若在某點可導,則必然在該點處連續。這個結論來自於連續性的定義。

3.2 導數與函數的性質

3.2.1 單調性

3.2.2 凹凸性

可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增,那麼這個區間上函數是向下凸的,反之則是向上凸的。如果二階導函數存在,也可以用它的正負性判斷,如果在某個區間上 f'' 恆大於零,則這個區間上函數是向下凸的,反之這個區間上函數是向上凸的

3.3 導數的求導法則

由基本函數的和、差、積、商或相互複合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下:

求導的線性:對函數的線性組合求導,等於先對其中每個部分求導後再取線性組合

兩個函數的乘積的導函數:一導乘二 + 一乘二導。

兩個函數的商的導函數也是一個分式:(子導乘母 - 子乘母導)除以母平方

如果有複合函數,則用鏈式法則求導。


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