雞兔同籠(中)--背後的思想與原理

雞兔同籠(中)--背後的思想與原理

《雞兔同籠(上)》主要分享了我個人在上課的設置及其意義,這一篇跳出課堂,從探究的角度去捋一捋雞兔同籠背後的思想與原理。

雞兔同籠最主要的兩個方法是假設法和分組法。

這一篇講假設法

當把雞和兔混合在一個籠子裡(兩類元素的混合問題),頭的總數量確定了以後,腳的數量就產生了界限。這個界限的最左端是1只兔和(n−1)只雞組成的情況,最右端是1只雞和(n−1)只兔組成的情況(雞和兔的數量不能為0),如下圖

雞兔同籠(中)--背後的思想與原理

可是,這種情況並不是最純粹的情況,或者說不是最簡單的情況,最簡單的情況應該是隻有雞或者只有兔(也就是隻有一類元素)的情況。而為了分析方便,也為了和前面的模型統一,我們把這種情況稱為0只兔和n只雞或0只雞和n只兔,新的界限如下(紅色的線)

雞兔同籠(中)--背後的思想與原理

可以確定一點:無論多少隻雞和兔混合,它們的腳數總和一定在此界限內。

雞兔同籠(中)--背後的思想與原理

理解了上面這種一般情況之後,我們再來分析具體假設法。

第一:假設的前提是你知道(意識到)這個“界限”的存在,假設的目的是讓實際的數據和界限做比較,在比較中找到它們(實際與界限)的關係,利用這一層關係解決問題。

第二:從“界限”到現在的位置——“實際”,並不是一步完成,而是逐步(一步步)完成的,每一步是將“1只雞換成1只兔”(或1只兔換成1只雞),經過多次置換後到達了現在的位置。所以,有些時候雞兔同籠也會說“置換法”就是這一層原因了。

第三:理解了前面的思想與原理之後,其實假設任何一個數據都可以通過比較解決問題,那麼為什麼要假設全是雞或者全是兔?我這裡找到的原因是這種極端的方式對於計算層面和傳授標準(表達標準)都很方便,所以這麼假設,而不是隻能這麼假設。

雞兔同籠(中)--背後的思想與原理

瞭解這些背後的思想與原理後,無論是老師或者家長,在給孩子講解“雞兔同籠”時,基本的思路也就出來了,剩下的就是去實際操作了。

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