作者劉瑞祥，本文已參與遇見數學＃數學蒲公英＃第3次徵文活動。
數學，美在哪裡？
所謂“數學之美”，也是個老生常談的話題了，我不揣冒昧，也談談我的認識。
數學，美在簡潔
有這樣一個問題：給你平面座標系上的三個定點，求過這三個定點的圓的方程。如果讓普通的中學生來求解，肯定是先作出其中兩點連線的垂直平分線方程，然後再作一垂直平分線方程，繼而求交點、半徑，才能得到圓方程，多麼麻煩。但數學家不是這樣，他們直接寫出圓的方程：
這是多麼的簡潔。利用行列式的性質立刻可以看出，(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)均滿足這個方程，所以這個方程確實是過已知的三個點，而且 x² 和 y² 的係數相同、沒有 xy 項，完全符合圓的方程特點。 該方程不但適用於一般情況，也適用於退化情況：只要將方程按第一行（或第一列）展開，馬上可以看出當且僅當第一項的餘子式為零時，這個方程的二次項係數為零，即此圖形退化為直線，而這個餘子式恰好就是以已知點為頂點的三角形面積的二倍。換言之，當且僅當這三個點代表的三角形面積為零（此時三點共線），所求的過這三個點的圖形為直線。 可能有人會說，前面的行列式如果展開的話，並不簡潔，那麼請看微積分基本定理：
以一個式子溝通了導數和積分之間的關係，何等簡潔？ 不但數學式子是簡潔的，數學理論也是簡潔的。《幾何原本》把整個幾何的知識體系都建立在了五條公設和五條公理上，即使到了現代公理體系的經典著作《幾何基礎》，也只有二十條公理，而這些公理能推出的命題則不可勝數。
數學，美在奇妙
這裡的奇妙有兩方面的含義，一是結論本身的奇妙，二是求解（求證）過程的奇妙。晚年的愛因斯坦回憶兒時曾經談到“一本關於歐幾里得平面幾何的小書”，並且舉了一個例子——三角形的三個高交於一點。這個定理的神奇之處在於，一方面它很不容易由觀察得出，另一方面也在於它的一個著名的證明過程居然會用到四點共圓，而這個定理本身無論前提還是結論都和圓毫無關係。
能體現數學之奇妙的還有尺規作圖。眾所周知的是，正七邊形不能用尺規作出，但正十七邊形居然可以，甚至可以用單獨一隻圓規或者單獨一把尺子（配合一個已知圓）作出，真可謂神乎其技。
類似的驚奇還出現在“有理數和整數一樣多”“實數比有理數多得多”的證明中。乍看起來，無窮多的東西怎麼能比較多少？但是數學家能夠像普通人處理 2+2 一樣處理無窮，真是不可思議。可是另一方面，有時數學家處理的研究對象又是很少的，比如所謂的布爾代數，只涉及兩個對象——0 和 1，很難想象數學家會研究這麼“貧乏”的東西，更難以想象的是，數學家居然從中得出了非常豐富的結論。
在學習泰勒展式和傅里葉分析前，你可曾想過，（幾乎）“任何”函數都可以化成統一的形式，乃至無論函數本身的定義如何，都可以用四則運算來計算？筆者中學時代常困惑於“數學用表是怎樣編制的”這個問題，待學完泰勒展式後這個問題迎刃而解。 下面兩個命題從表面上看似乎是矛盾的，以至於很難相信它們竟會同時成立：一是素數是無窮多的，二是存在著任意（給定）長度的連續的合數數列。這兩個命題都能用很簡短的方式加以證明，其可靠性是確定無疑的。這展示了數學奇妙特性的另一方面。
數學，美在統一
給出平面直角座標系上的三個點的座標，以這三個點為頂點的三角形面積怎麼計算呢？還是用行列式表示比較容易：
這裡內層的豎線表示行列式，外層的豎線表示絕對值。而立體直角座標系上四稜錐的體積公式則是 ，
數軸上兩個點的座標，其距離則可以寫作
看出來係數的奧妙了嗎？沒錯，正是維度階乘的倒數。 如果你取消上面的絕對值符號，那麼會有更統一的結論：以平面為例，任給四個點 A、B、C、D，則有
這裡的 S 是帶號面積，以角標下第一個點的座標為(x1,y1)、第二點的座標為(x2,y2)、第三個點的座標為(x3,y3)。這樣處理，無論點 D 在三角形 ABC 的內部還是外部，結論都是一樣的。 仍以前面說過的過平面上已知三點的圓方程為例，可以方便地擴展為三維空間乃至 n 維空間裡(n+1)個點的球方程。 體現數學統一性的還有求最值的方法。筆者在高中時代為了求最值可沒少受罪，比如什麼直接法、函數增減法、判別式法等等（那時高中還不講導數），但是到了大學發現，原來求最值只要先求得導函數再解方程，然後比較一下就可以了啊。
數學，美在嚴謹
培根曾說，數學使人嚴密。有幾個學生在初中沒有受過“有且僅有”“當且僅當”一類字眼的折磨？還有就是證明一個東西是另一個東西的“充要條件”，或者在證明軌跡的時候要先證明一次“符合條件的點在所求線段上”，再證明一次“不符合條件的點不在所求線段上”，當時覺得多此一舉，但是後來才知道只有這樣才能保證正確性。
另外的例子是在學習微積分時，先要背所謂的 ε-δ 定義，這個已經很繞嘴了，什麼“任給”、“存在”、“當”……然後每學一個定理時，總是要注意前提——函數是在開區間裡連續，還是在閉區間裡連續，或者是開區間裡可導，還是閉區間裡可導。連續還有一致連續，非一致連續，間斷還有第一類間斷點、第二類間斷點，收斂還有條件收斂、絕對收斂……然而這正是數學的特質。她以嚴謹的特性，篩選出了真正的裙下之臣。
在缺乏邏輯傳統和邏輯課程的中國，數學的嚴謹特質，是一種可貴的補充。其中，初等數學領域中的證明題是特別有利於培養“言之有據”等邏輯規則的。這裡容不下花言巧語，容不下轉移話題，不能借助類比等手段。你必須以“事實”（所給條件）為依據，以“法律”（公理、定義、定理）為準繩，腳踏實地進行論證，有一說一，有二說二。說到這裡，有一種應試傾向應該得到糾正，那就是讓學生遇到不會的題目去“蒙”，或者把條件羅列一下直接寫個結論。筆者認為，理想的教學方法是，要求學生會做的題目要做對，不會的地方要老實留空，但這主張實在難以實行。
關於數學之美，當然可以談論的地方還有很多，比如很應該從抽象之美的角度談一談（群論、線性代數可以作為例子），還有數學研究內容之豐富和有力可能也是數學之美的組成部分，但筆者能力所限，只能避而不談了。其實就是以上內容，可能也不免謬誤或者不當，敬請讀者指正。
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