瞭解康托爾的數學無窮大
Illustration of Georg Cantor by Maney Imagination
伽利略通常被認為是現代科學之父。 他是將實驗，理論和數學原理整合到一個標準框架中的人。 伽利略是負責發展現代科學的人，可能比任何人都多。
據說伽利略號從比薩斜塔上落下了兩個質量不同的鋼球，但材料相同，它們同時降落。 該實驗的顯著之處在於他引入了一種新的科學方法，您可以在其中進行實驗以檢驗假設。 他表明，我們要做的不只是認為某件事是真實的，還需要證明這一點。
Most historians agree that Galileo's famous experiment atop the Leaning Tower of Pisa never took place.
伽利略（Galileo）在比薩大學數學系系主任期間發現了一個有趣的悖論。
定義：悖論，也稱為對立，是一種邏輯上自相矛盾的陳述，或者與人的期望背道而馳的陳述。 （維基百科）。 （希臘語：" para" =超越，" doxa" =信念）
伽利略的悖論在於確定包含無限對象的兩個集合是否彼此等效。 例如，令P為正整數集合，其中P = {0,1,2,3，…}，E為偶數集合，其中E = {0,2,4,6，…}。 伽利略聲稱這兩個集合的大小將是相同的，因為我們可以將集合P中的每個正整數與集合E中的偶數配對。
那麼，當E中出現"更少"的數字時，兩組的大小如何相同？ 這被稱為伽利略悖論，並引發了有關無限概念的新辯論。
伽利略之後，他的學生Evangelista Torricelli成為比薩大學數學系主任。 您可能已經聽說過他，因為他在大氣壓力方面的工作以及氣壓計的發明。 由於Toricelli也對數學感興趣，因此他問：
有可能具有有限體積和無限表面的對象嗎？ 首先，對於我們大多數人來說，這樣的事情似乎不太可能。 但是，數學告訴我們這種事情可能發生。 Torricelli親自回答了他的問題，並發現了Toricelli的小號，其表面積是無限的，但是體積是有限的。 他的發現被視為"令人難以置信的"悖論。
Gabriel's Horn or Toricelli's Trumpet
順便說一句，數學哲學中有一個基本規則。 無論您處理的是哲學時代還是數學時代，它都與該地區的歷史，文化和宗教有關。 這就是為什麼他們稱Toricelli的喇叭也叫Gabriel的Horn。 這裡提到聖經是因為基督徒相信天使加百列會在審判日吹響號角。
那麼Torricelli的喇叭形又如何呢？ 我們都知道如何繪製y = x。 如果用等式y = 1 / x繪製圖形，其中x大於或等於1，則該圖形將如下所示：
The graph of y=1/x, x>1.
當我們拍攝y = 1 / x的圖形並將其繞x軸旋轉時，我們看到了Toricelli的小號。
幸運的是，我們掌握了一些數學公式，可以計算Toricelli小號的面積和體積。 當我們使用以下積分公式計算小號的體積時，我們得到的是有限的數量。
然而，當我們對小號的表面積應用積分公式時，這一次，其表面積變得無限大。 這個結果有趣嗎？
由於Toricelli小號的音量是有限的，因此我們可以用有限的顏料填充它。 例如，假設其容積為100升。 我去Home Depot買了100升油漆，然後加滿油漆。 但是，使這一點有趣的是，我將用那100升油漆在無限的表面上繪畫。 如今，大多數人將此悖論稱為"畫家悖論"。
休斯頓，我們在這裡遇到了問題！ 在數學上，在實踐中不可能實現的情況成為可能。 那麼，托里切利的號角怎麼會是真實的呢？ 或者，在Galileo的示例中，其中一個集合是另一個集合的子集時，我們如何精確匹配集合的所有元素？
所有這些衝突的原因在於，無窮大的概念與我們所知道的其他概念並不相似，這使許多人感到困惑。 伽利略說他的悖論，
"是的，我的朋友，存在無限。 反對是徒勞的。 我正在研究的集合是涉及無限的閉合集合的示例。 它們從一個點開始，一直延伸到無窮遠，但是它們仍然被設置。 但是，我對無窮大的評論和概念必須與有限數量級所使用的評論和概念有所不同。 如果要處理有限的量值，則可以說3公斤小於5公斤，或者32米大於7米。 但是談到無限，您不能說這個無限更大，更小或相等。"
那就是伽利略的解決方案1600年代。
不幸的是，伽利略的解決方案引發了有關無限性的新辯論。 在坎託分享他的"集合論"之前，數學家和哲學家無法就一個具體的答案達成共識，今天學生在小學學習。
我們可以定期歷史化無限概念的發展。 它最初是從Eleatics中學出來的，這是公元前5世紀初期由Parmenides在古鎮Elea創辦的蘇格拉底哲學流派。 這所學校有三位偉大的哲學家，例如芝諾（Zeno），色諾芬（Xenophanes）和帕門尼德（Parmenides）。 在這所學校中，公認的哲學是存在是單數的，沒有複數。 芝諾（Zeno）以其在Eleatics上對無限性的悖論而聞名。 公元前300年代後期，亞里士多德（Aristoteles）提出並提出了兩個概念來解釋芝諾的悖論，即潛在的無限和實際的無限。
潛在的無限是一組數字或一組"事物"，它們連續不斷而不會終止，繼續或重複自身，而沒有可識別的終點。
實際的無限涉及具有起點和終點的空間中的永無止境的集合或"事物"。 從技術上講，這是一個"完成"的系列，但包含無限數量的成員。
亞里斯多德相信沒有實際的無限。 直到1600年代，亞里士多德的這一思想一直主導著哲學界。 然後像庫薩（Cusa）和布魯諾（Bruno）這樣的哲學家聲稱存在實際的無窮大，但是我們無法理解它。 在庫索和布魯諾之後，偉大的思想家斯賓諾莎加入了這個話題。
斯賓諾莎說，我們可以理解無窮大的概念，並對其大小進行排名。 但是，他也表示無法對它們進行數學運算。 例如，他可以加3到5，但不能將一個無窮大加到另一個。
最後，為完成這些辯論，一個漂亮的人格奧爾格·坎託（Georg Cantor）出現並發現了集合論，而集合論仍然是數學的基礎。 他用集合論為無窮大討論設定了最終點。
他向我們展示了一個無限集將比另一個無限集更大或更小。 此外，康托爾聲稱我們可以加和乘無窮集。 在此之前，人類一直遵循亞里士多德關於無限的思想。 根據亞里士多德的說法，如果我們將數字3乘以無窮大，那麼它將再次變為無窮大。 無限會吞沒一切。 基於此，他聲稱只會存在潛在的無限，而不是實際的無限。
但是，康托爾向我們證明了亞里斯多德的理論與集合論相反。 如果我們將一個添加到無限集合中，那麼它將不再是同一集合。 他試圖比較無窮大。 例如，康托爾證明（0,1）→ℕ的所有函數的集合都是可數的。 因此，他定義了從區間（0,1）到自然數的一對一函數。
換句話說，他證明了全自然數可以在0到1之間擬合，因為在0到1之間有無限個有理數，並且這些無限性可以配對。 然後他做了比找到兩個相等的無限更危險的事情。 他比較了實數的無窮大和自然數的無窮大，發現實數的無窮大。 他甚至查看了自己的證據，並告訴他的朋友Dedekind："我看到了，但即使我也不敢相信……"。
康托爾還是一位數學家，對哲學和宗教問題非常關注。 他說，在發展集合論的過程中，"上帝決定了集合論。"
集合論最初發展時並沒有被廣泛接受。 公司甚至沒有僱用Cantor從事任何工作。 數學家亨利·龐加萊（HenriPoincaré）曾經說過："關於康托爾的想法是一種嚴重疾病，一直困擾著數學界。 數學將有一天對待他。" 康托爾不得不去精神病院呆了一段時間，然後死在那裡。 但是今天，我們認為他是一個天才。
康托爾是一個孤獨的人，處在無限的邊緣。 他在有關"無限數"的文章的開頭引用了聖經："所有隱藏的東西都會被發現。"
(本文翻譯自Waldo Otis的文章《Understanding Cantor's Mathematical Infinity》，參考：https://medium.com/however-mathematics/understanding-cantors-mathematical-infinity-bc9ffe7465da)
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