數學:我這麼做因式分解(一)

初中數學無非代數、幾何,幾何側重推導與證明,代數則重在計算,因式分解,就是整個代數計算的靈魂!由於篇幅較長,我們將分4篇來逐一介紹因式分解的方法。


1

為什麼要做因式分解?

在學完整式乘法之後,接著就會遇到因式分解,通常我們會把兩者作一個對比,簡單說整式乘法是積化和,比如:

數學:我這麼做因式分解(一)

而因式分解是和化積,比如:

數學:我這麼做因式分解(一)

兩者之間是互逆的關係,整式乘法是關於整式的計算,那因式分解是什麼?又為什麼要學習因式分解呢?


舉個例子,1001這個數有什麼性質?它是個奇數?是個四位數?是四位數中最小的奇數?這些都不是重點,1001是7的倍數,是11的倍數,也是13的倍數,因為1001=7×11×13。對於數我們有一個操作叫做分解質因數,這樣我們就可以瞭解這個數的構成,而且任意一個合數都能夠分解為質數相乘的結果,可以這麼理解:所有的整數都是由質數構成。所以關於質數一直以來都是研究的熱門話題,如哥德巴赫猜想、黎曼猜想都是關於質數的內容。

所以為什麼要做因式分解?因為分解之後更能瞭解這個式子,舉個例子:

數學:我這麼做因式分解(一)

這麼看起來可能並不能看出什麼,但如果換個形式:

數學:我這麼做因式分解(一)

這樣我們就明白,哦,原來它就是(x+1)的平方呀!

再比如實用一些,解方程:

數學:我這麼做因式分解(一)

這是一個二次的方程,似乎難度上了一個檔次,但如果我們把它換個形式:

數學:我這麼做因式分解(一)

是不是一眼就能看出答案了?為什麼做因式分解?因為我需要更多瞭解一下這個式子!


既然因式分解是整式乘法的逆運算,不妨從整式乘法中探尋因式分解的方法。整式乘法有一套通用的規則,任意的整式乘法代入這個規則即可得到正確結果。

很遺憾因式分解並沒有通用的方法,這也正是因式分解難點所在,所以我們不僅要學方法,還要注意什麼形式的式子用什麼方法。接下來本文將介紹4種基本方法。


數學:我這麼做因式分解(一)

2

提公因式法


提公因式法:最基本的方法


整式乘法中最簡單的情況是單項式×單項式=單項式,單項式是不需要分解的,因為其本身就是分解的結果,已經是乘積的形式了。


單項式×多項式呢?舉個例子:

數學:我這麼做因式分解(一)

反過來

數學:我這麼做因式分解(一)

像這樣把各個項的公因式提取出來的方法叫提公因式法,是因式分解最基礎的一種方法,任何一個式子都可先考慮,有沒有公因式可以提!


公因式是什麼?數字部分取各項係數最大公約數,字母部分取各項相同字母的最低次冪,比如:

數學:我這麼做因式分解(一)

3

兩個重要公式


兩個重要公式:完全平方公式、平方差公式


接下來該說到多項式×多項式了,在說一般性之前,有兩個常用公式:

(1)完全平方公式:

數學:我這麼做因式分解(一)

(2)平方差公式:

數學:我這麼做因式分解(一)

這兩個就是特殊的多項式×多項式,因為常見,所以叫公式!

另外還有三次的公式:

數學:我這麼做因式分解(一)

這裡有點不分左右,因為這麼寫讓我覺得更好看些,如果對這四個公式記憶有困難,不妨再理解理解整式乘法的一些規則。


關於次數:

一次式×一次式=二次式

二次式×三次式=五次式


比如:

數學:我這麼做因式分解(一)

所以右邊每一項都是三次的,而由a和b構成的三次式有:

數學:我這麼做因式分解(一)

接下來只需要再記住係數就可以了。

關於項數:

如果不考慮合併同類項的話,單項式×二項式=二項式,二項式×二項式×二項式=八項式。


再看:

數學:我這麼做因式分解(一)

各項係數1+3+3+1=8,即合併之前的八項。


從次數和項數兩方面來考慮計算的結果或者分解後的因式,會對計算更有幫助。

4

分組分解法


分組分解法:項數≥4

考慮一般性的多項式×多項式,舉個簡單的二項式×二項式:

數學:我這麼做因式分解(一)

細化一下整式乘法的具體過程:

數學:我這麼做因式分解(一)

反之考慮對

數學:我這麼做因式分解(一)

作因式分解,即可知:

數學:我這麼做因式分解(一)

這便是分組分解法。


當遇到的項數≥4的時候,項數太多處理不好怎麼辦?沒關係,先分個組。


分組分解法的關鍵是合理分組!

數學:我這麼做因式分解(一)

比如:

數學:我這麼做因式分解(一)

我們可以:

數學:我這麼做因式分解(一)

也可以:

數學:我這麼做因式分解(一)

但是不能:

數學:我這麼做因式分解(一)

因為這麼分接下來會發現什麼都做不了啊!


所以分組的小組裡必然要能分解才行


再比如:

數學:我這麼做因式分解(一)

如果分成:

數學:我這麼做因式分解(一)

接下來就會發現沒法做了。


所以不僅要組內能夠分解,兩個組之間還要能結合起來才行。


那我怎麼知道誰跟誰一組呢?就這幾項多試試就試出來了。


數學:我這麼做因式分解(一)

(1)4項分組2項+2項

例題:(提公因式+提公因式)

數學:我這麼做因式分解(一)


例題:(平方差+提公因式)

數學:我這麼做因式分解(一)

4項分組:3項+1項

例題:(完全平方+完全平方)

數學:我這麼做因式分解(一)


兩項:提公因式或平方差;三項:提公因式或完全平方公式。


(2)5項分組:2項+3項

例題:(完全平方+提公因式)

數學:我這麼做因式分解(一)


(3)6項分組:3項+3項

例題:(提公因式+提公因式)

數學:我這麼做因式分解(一)


6項分組:2項+2項+2項

例題:(提公因式+提公因式)

數學:我這麼做因式分解(一)


6項分組:3項+2項+1項

例題:(公式法+公式法)

數學:我這麼做因式分解(一)

5

十字相乘


十字相乘法:二次三項式

數學:我這麼做因式分解(一)

分組分解法其實用得並不多,因為我們以後遇到的代數式計算較多情況下是一元的,比如

數學:我這麼做因式分解(一)

,怎麼對這樣的式子作分解呢?先考慮下結果,一個二次式若能分解,必然是一次式×一次式,即結果應該是

數學:我這麼做因式分解(一)

,所以我們先確定框架,然後再確定這裡的係數即可。即a、b、c、d要滿足:

數學:我這麼做因式分解(一)

這個方程組看起來還有那麼點麻煩,所以我們採用如下方法來解,具體的方法稱為十字相乘法。

數學:我這麼做因式分解(一)

十六字口訣:首尾分解、交叉相乘、求和湊中、試驗篩選。

說白了,就是在湊係數,如果一次沒湊對,沒關係,再接著湊唄。

數學:我這麼做因式分解(一)

二次項係數不為1:

數學:我這麼做因式分解(一)

數學:我這麼做因式分解(一)

係數帶字母的:

數學:我這麼做因式分解(一)

數學:我這麼做因式分解(一)

換一個:

數學:我這麼做因式分解(一)

數學:我這麼做因式分解(一)

像這種帶字母系數的沒有什麼特別之處,只是要求我們敢於去做。


小結:以上4種方法是因式分解的一些基本方法,理解方法的思路外加勤練習,就能搞定大部分常規問題。當然還有一些看起來反人類的題目,不慌不慌,有的是辦法收拾它們。


數學:我這麼做因式分解(一)


分享到:


相關文章: