小升初:雞兔同籠問題多種解法的實際應用及答題技巧彙總

大約在1500年前,我國古代名著《孫子算經》中記載了一道有趣的數學題,“

今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”這就是著名的“雞兔同籠”數學問題,是指雞與兔同在一個籠中,共有35個頭,94只腳,籠中各有多少隻雞兔?那麼已知雞與兔的總頭數以及雞與兔的總足數,求雞和兔各是多少隻的應用題,這種類型題是古代趣題,在現實生活和生產中應用廣泛,有著十分重要的使用價值。

雞兔同籠問題的特點是:題目中有兩個或兩個以上的未知數,要求根據總數量,求出各未知數的單量。解答時,一般採用假設法,即假定全部的只數都是雞或者是兔,算出假定情況下的足數和實際上的足數和、足數差,然後推算出雞和兔的只數。

計算時的主要數量關係是:

1.假設全部是兔,則

雞的只數=(每隻兔的足數×總頭數-總足數)÷(每一隻雞與兔足數的差)

簡單理解就是:

雞的只數=(4 ×總頭數-總足數)÷2

兔的只數=總頭數-雞的只數

2.假設全部是雞,則

兔的只數=(總足數-每隻雞的足數×總頭數) ÷(每一隻雞與兔足數的差)

簡單寫就是

兔的只數=(總足數-2 ×總頭數) ÷2

雞的只數=總頭數-兔的只數

《奔跑吧,兄弟》第二季第二期中的密室逃脫徹底考驗了7位兄弟的智商。陳赫受困於“雞兔同籠”問題,無計可施,先一步越獄的包貝爾決定施以援手,但其另類解法招致陳天才的嗤之以鼻,不過事實證明該解法效果顯著,陳赫最終獲救,可見絕頂果然聰明,小貝著實不凡。

回顧原題,就是著名的雞兔同籠問題,其表述是:雞兔同籠共35頭,94只腳,問雞有幾隻,兔有幾隻?

包貝爾所謂的“所有動物抬起兩隻腳”,抬起了70只腳,地上剩下94-70=24,對應的是兔子剩下的腳,24÷2=12就是兔子的數量。其實就是假設法,即假設籠子裡全是雞,則應有35×2=70只腳,實際有94只腳,故兔子有(94-70)÷2=12只,雞有35-12=23只。

典型例題1

雞兔同籠,共有45個頭,146只腳。籠中雞兔各有多少隻?

分析:題目中給出了雞、兔共45只。如果假設這45只全都是兔子,那麼就應該有180只腳。而題目只告訴我們有146只腳,我們算的180只腳和實際相比多算了34只腳。為什麼呢?因為一隻雞是兩隻腳,而我們把它當成4只腳算了。如果用一隻雞來置換一隻兔,就要減少2之腳,那麼,34只腳裡包含多少個2只腳,也就是我們把多少隻雞當成了兔子,顯然34÷2=17(只)。所以雞有17只,兔子有28只。當然,我們也可以把45只都假設成是雞,把以上問題反過來考慮。

方法一 :假設全是兔子。

(4×45-146)÷(4-2)=17(只)——雞

45-17=28(只)——兔

方法二 :假設全是雞。

(146-2×45)÷(4-2)=28(只)——兔

45-28=17(只)——雞

答:雞有17只,兔子有28只。

(有興趣的同學可以參照上篇文章,用其它方法進行解答!)

典型例題2

盒子裡有大、小兩種鋼珠共30個,共重266克,已知大鋼珠每個11克,小鋼珠每個7克。盒中大鋼珠、小鋼珠各有多少個?

分析:假設全部都是大鋼珠,則共重:11×30=330(克);

比原來的克數重:330-266=64(克);

小鋼珠的個數是:64÷(11-7)=16(個)

大鋼珠的個數是:30-16=14(個)

同樣,也可以假設全部都是小鋼珠。算法一樣。

小升初:雞兔同籠問題多種解法的實際應用及答題技巧彙總

典型例題3

一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張,總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張?

分析:先假定買來的100張郵票全部是20分一張的,那麼總值應是2000分,比原來的總值多120分。而多的120分,是把10分一張的看作是20分的一張的,每張多算10分。因此可以先求出10分一張的郵票有多少張。

小升初:雞兔同籠問題多種解法的實際應用及答題技巧彙總

解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”“轉換法”“置換法”等。通常把其中一個未知數暫時當作另一個未知數,然後根據已知條件進行假設性的運算,直到求出結果。

概括起來,解“雞兔同籠問題”的基本公式是:

雞數=(每隻兔腳數×雞兔總數-實際腳數)÷(每隻兔子腳數-每隻雞的腳數)

兔數=雞兔總數-雞數

典型例題4

雞兔同籠,雞比兔多25只,腳數共176只,雞、兔各多少隻?

分析:假設去掉多的25只雞,則一共去掉2×25=50(只)腳,那麼176-50=126(只)腳是雞和兔一樣多的腳的總數量,而一對雞兔共有2+4=6(只)腳,可以求出去掉25只雞以後一共多少對雞和兔,然後再加上去掉的25只雞。

2×25=50(只)

176-50=126(只)

2+4=6(只)

126÷6=21(對)‥‥‥雞、兔各21只

21+25=46(只) ‥‥‥雞的只數

答:雞有46只,兔有21只。

典型例題5

5元紙幣和2元紙幣總張數是200張,已知它們的總面值是940元,這兩種紙幣各多少張?

分析:(1)假設200張紙幣完全是2元,共值:2×200=400(元)

(2)比實際少:940-400=540(元)

(3)2元換成5元,每張增加:5-2=3(元)

(4)5元紙幣有:540÷3=180(張)

(5)2元紙幣有:200-180=20(張)

答:有180張5元、20張2元紙幣。

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