今天我想分享一個簡單的 idea，它既不新穎也不花哨。甚至很多人都有過這個想法。但是無論你有沒有這麼想過，我都希望你能抽出幾分鐘和我一起重新感受這個想法。
這個想法是這樣的：
想法非常簡單，但非常實用。
首先嚴謹地概括這個想法：每個矩陣對應一個加權二分圖。所謂「圖」是指頂點（點）和線的集合；「二分」是指點有兩種不同的類型/顏色;；「加權」是指每條線都有一個數字標記。
上圖對應一個 3×23×2 矩陣 M。右側我畫了三個綠點，分別對應矩陣 M 的三行，兩個粉點分別對應矩陣 M 的兩列。如果對應矩陣 M 中的值非零，就在綠點和粉點間畫一條線連接。
例如，在第二個綠點和第一個粉點間存在一條線，因為 M_21=4，即矩陣 M 第二行第一列的值不為 0。此外，我用非零數字標記了這條線。而第一個綠點和第二個粉點之間沒有線連接，因為矩陣的第一行第二列值為零。
更明確的描述如下：
任何矩陣 M 都是 n×m 個數的數組。當然這是常識。但是這樣的數組也可以看作函數 M：X×Y→R，其中 X = {x_1，...，x_n}，是一組 n 個元素組成的集合；Y = {y_1，...，y_m}，是一組 m 個元素組成的集合。實際上，如果要描述矩陣 M，那麼需要描述第 ij 項的值。換句話說，對於每對 (i,j)，都需要給出一個實數 M_ij。這就是函數的功能啊！函數 M：X×Y→R 關聯每對 (x_i,y_j)（如果你願意，可以去掉字母並將其看作 (i,j)），即實數 M(x_i,y_j)。所以可以將 M(x_i,y_j) 簡寫為 M_ij。
看，矩陣就是一種函數。
如前所述，我們進一步認為 X 的元素是綠點，而 Y 的元素是粉點。然後矩陣 M 以下圖方式與加權二分圖相對應：圖的頂點有由 X 和 Y 提供的兩種不同顏色，並且每個 x_i 和 y_j 之間存在連線，連線由數字 M_ij 標記。但是如果數值為零，那就省略這條邊。
每個矩陣對應一個圖。
當我們以這種方式可視化矩陣時，神奇的事就發生了。例如...
矩陣乘法即為沿連線向前運算。
給定兩個矩陣（圖）M：X×Y→R 和 N：Y×Z→R，我們可以通過將它們的圖拼在一起並沿著連線進行乘法運算：MN 的第 ij 項的輸入，即連接 x_i 到 z_j 的線的值，是通過將沿 x_i 到 z_j 的各個邊相乘並加和得到的。例如：
對稱矩陣對應對稱圖。
如果一個矩陣等於它的轉置，即為對稱矩陣。這種對稱性常通過矩陣對角線映射得到。但現在可以從圖中觀察到對稱性。尤其對於任何矩陣 M 來說，下圖直觀地解釋了，為什麼 MM^⊤和 M^⊤M 始終對稱！
若矩陣所有項都非零，則對應完全二分圖。
如果一個矩陣的所有元素都不為零，那麼它對應的圖就沒有缺失的連線。這意味著 X 中的每個點都與 Y 的每個點相連。這樣的二分圖稱為完全二分圖。
N 分塊矩陣對應獨立的 N 個圖。
具體來說，由直和得到的分塊矩陣對應斷開的圖。將兩個矩陣做直和運算得到更大的數組（與向量直和運算類似），即一個帶有全零塊的大型分塊矩陣。分塊矩陣的圖通過將原矩陣的圖疊加得到。
關於矩陣和圖我們能展開更多的討論，但我想通過一個不同的角度來探討。事實證明，概率非常適合我們矩陣-圖的討論。這是通過另一個有趣的小事實來實現的：
例如：
這樣的概率分佈圖可以讓我們更好地分析。
聯合概率
通過架構圖中的連線，可以得到聯合概率：(x_i,y_j) 的概率是連接 x,y 兩點的線的標籤。
邊緣概率
邊緣概率是通過沿矩陣的行/列求和得到的（與上圖等效）。例如，x_1 的概率 p(x_1)=p(x_1,y_1)+p(x_1,y_2)=1/8+0，這是第一行的總和。同樣，y_2 的概率是 p(y_2)=p(x_1,y_2)+p(x_2,y_2)+p(x_3,y_2)=0+1/8+1/4，是第二列的和。
圖中，x_i 的邊緣概率是以 x_i 為頂點的所有連線的和。類似地，y_j 的邊緣概率是以 y_j 為頂點的所有連線的和。
條件概率
條件概率是由聯合概率除以邊緣概率得到的。例如在 y_2 條件下 x_3 的概率 p(x_3|y_2)=p(x_3,y_2)/p(y_2)。從圖中可以看出，這是通過將 x_3 和 y_2 的連線除以所有與 y_2 相連的線之和得到的。同樣，y_i 下 x_j 的條件概率是兩點連線的值除以所有與 x_j 相連的線之和。
這很簡單，對吧？
這裡邊的原理並不複雜，只是有時用新角度看舊想法是很有用的。
關係矩陣
本文的最後是另一個簡單而有趣的事實，即：矩陣運算在交換環（communicative ring）上是有意義的。不僅僅是像 R 或 C 等。矩陣相乘甚至不需要負數：矩陣運算在交換半環上是有意義的！（半環是一個沒有相反數的環。）
我認為這很好，因為包含兩個元素 Z_2 = {0,1} 的集合通過下圖的加法和乘法形成一個半環：
為什麼會這麼好？因為一個矩陣 M:X×Y→Z_2 相當於一個「關係」。「關係」是笛卡爾積 X×Y 的子集 R 的名稱。換句話說，每個 Z_2-valued 矩陣定義了一個「關係」，每個關係又定義了一個 Z_2-valued 矩陣：當且僅當 (x_i,y_j) 是 R 子集的元素時，M_ij=1，否則 M_ij=0。
Z_2 中的矩陣圖與上面討論的圖完全相同，只是現在所有連線的值都是 0 或 1。如果權重是 0，那和之前一樣，我們就不畫這條連線了。
（順便說一句，你現在可以問，「既然每個「關係」對應於 Z_2 中的矩陣，那與「等價關係」相對應的矩陣是什麼樣的？」我離題了....）
通過將基礎（半）環從 R 改為 Z_2，我們改變了解釋權重的方式。例如，在上面的概率場景中，我們可以問，「從 x_1 到 y_1 的概率是多少？」答案由對應邊的權重而來，在本例中為 12.5％。或者，當矩陣在 Z_2 中取值時，問題變為：「是否可能從 x_1 到 y_1？」如果連線標記為 1，則為「是」，如果標記為 0 則為「否」。（這個想法已經被多次解釋了）。
重要的是，「關係」的組合恰好是使用了上面的 Z_2 算法的矩陣乘法。換句話說，給定任意兩個關係 R⊂X×Y 和 S⊂Y×Z，存在一個新關係 SR⊂X×Z，包括所有 (x,z)，至少存在一個 y∈Y，其中 (x,y)∈R，(y,z)∈S。這種新關係正是表示 R 和 S 的矩陣乘積所指定的。
這個關於矩陣/關係的小事實絕對是我最喜歡的數學事實之一。一個原因是因為有限集的範疇，「關係」很像有限向量空間和線性映射的範疇。實際上，它更像是有限維希爾伯特空間的範疇。這意味著許多看似不相干的想法突然變得密切。這些聯繫可以更加精準，這是一個在範疇理論界經常被分享的故事。
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