雖說近代中國對於世界數學的發展貢獻很有限，但是時間要是往前倒退一千幾百年，古代中國的數學成就是絕對可以屹立很久的。
《九章算術》這本書堪稱我國數學發展上的史記，這本書繼承了之前所有的數學成就，並將許多種問題歸類，形成一本非常實用的應用題集。對於關於球的體積計算公式，這裡也提到一個。
《九章算術》裡球體積的計算公式
你沒有看錯，作為一個球體的體積計算公式，這個公式里居然沒有π的身影，因為這個公式是古人通過實測得到的！現在看來的確很荒誕，可是那個時候的人們的數學能力實在有限，就算有懷疑也僅僅是直覺上的，很難提出確鑿證據，更別說改正這個公式了。
劉徽
魏晉時期，我國誕生了一位非常偉大的數學家劉徽，如果不算20世紀，那麼劉徽絕對是中國歷史上成就最高的數學家。他的研究非常廣泛，幾乎涉及到古代中國所有的數學領域，建立了分數，方程理論，對割圓術有著比較深入的研究，他第一個求出了較為精確的π值。劉徽有兩本著作流傳於世，對後世影響極大，幾乎成為了一千多年學習算術學的官方教科書。這就是《九章算術注》和《海島算經》。在《九章算術注》裡，劉徽正式提出了對上面計算公式的質疑。
這裡劉徽構造了一個特殊的結構體，“牟合方蓋”。
兩個底面直徑相同的圓柱體正交，公共的部分剝離出來，這個就是牟合方蓋。
牟合方蓋
這個立體構造出來之後，我們發現，如果用一組平行與地面的面去截這個立體，橫截面都是正方形，並且這個正方形剛好外接與某個球體在同一高度的橫截面。這段話有點抽象，用下面的圖形來表示。（這個圖實在不好畫，就直接在網上找了）
劉徽這個時候其實已經知道了內接圓和外接正方形的面積是4：π，換句話說，這個牟合方蓋的體積與內切球的體積比也是4：π。如果劉徽可以計算出牟合方蓋的體積，那麼球的公式就肯定能得到了。然而劉徽沒有能夠再前進一步，因為牟合方蓋的構造方式雖然很簡單，僅僅讓兩個等寬的圓柱體正交即可，但是要求出這公共部分卻是很難的，至少在當時已經有了數學理論上。雖然劉徽沒有跨進最後一步，但是他提出的這個牟合方蓋的構造體卻是極為正確的，這個方向沒有問題。劉徽通過對這個牟合方蓋體積的大致估算，也徹底否定了《九章算術》裡原來的球體積計算公式。
祖沖之
祖𣈶
接下來總要有人來計算出正確的公式吧，這就要求著必須要有一套新的方法才能奏效。於是又過了兩三百年，故事發生在祖氏家族。老爹祖沖之當然是聞名遐邇，應該算是一個著名的計算大師，那個圓周率小數點後7位的成就可不是蓋的。這裡，我們要說的是他兒子，祖𣈶。他們父子都是數學家，祖𣈶最著名的貢獻就是祖𣈶原理。這裡，摘取一下原理的精義：
“緣冪勢既同，則積不容異。”
古人真是惜字如金，翻譯過來就是：如果兩個物體的截面積和高始終相等，那麼體積也是相同的。
上個圖就一目瞭然。
很明顯左邊這是一摞書垂直襬放的狀態，右邊是逐步傾斜的擺放狀態。我們可以想象，平行的面去截這摞書，每次的截面都是書頁的大小，很明顯，這兩種擺放狀態下，截面積總是相等的，高當然也是相等的。因為這根本就是一摞書的兩種擺放狀態而已，體積當然也是相等的。那麼我們再舉一個一般的例子，左右完全是兩個不同的物體，但是也滿足祖𣈶原理的要求，這個時候體積就不見得是那麼好比較了。
祖氏父子構造出的兩個等體積物體
我們把祖沖之父子的推導過程擺上來。
祖𣈶原理推導出球體積公式
由此，祖氏父子終於得到了正確的球體積公式，終於彌補了劉徽未盡的事業。
這裡算是我國古代數學關於極限思想的又一次先驅體現，雖然，祖氏父子在著作中絲毫沒有提到極限二字，然而這個原理背後的微積分雛形卻相當明顯。如果用現在微積分的思想去考慮，祖𣈶原理其實就是下面這個式子：
祖𣈶原理 微積分表示
在橫截面積已知的情況下，我們逐步去求高度的微分，如果能夠得出解析式那就直接積分就可以到公式。假如高度的微分不容易得到，我們也可以分段來求微分，最後合併到一起去求積分即可。
利用祖𣈶原理可以求一些複雜物體的體積，求解過程的關鍵在於，如何去構造一個體積已知的物體，使得與所求物體橫截面相同，高也相同。我相信，祖氏父子經過了無數次試驗才最終構造了半球和被挖圓柱的例子。
當然了，現在有很多種方法都可以得到球體積的公式，甚至任何規則曲線繞軸旋轉而形成的物體體積都是可以很輕鬆計算出來：
曲線繞軸旋轉形成的物體
曲線繞軸旋轉得到的體積公式
如果要計算球的體積公式，那麼只要把圓的方程曲線代入到上面的公式裡，直接就可以得到結果。
祖𣈶原理在世界上也領先了許多年，大約17世紀，意大利數學家卡瓦列裡才提出類似的成果，算起來也比祖沖之父子的時代晚了1100多年。
老爹算圓周率，兒子算球體積，反正這對父子數學家真是跟圓有莫大的緣分啊。我又想起了歐拉和老師伯努利的故事，在學術研究上，沒有比父子傳承和師徒傳承更加美好的事情了。
閱讀更多 徐曉亞然 的文章
