怎樣用數學來定義 「自由」「民主」?

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

把生活當成一個公設,因此無需任何證明。

校對:華夏

插圖:崔牧雲

排版:姜如月

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

莉莉安·R·利伯(Lillian R. Lieber)

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

“存在的喜悅必須每時每刻呈現在每一個人身上”,在西蒙·波伏娃的顛覆性著作中,她如是評論自由如何要求我們把追求幸福作為一種道德義務。十五年後,數學家及作家莉莉安·R·利伯(Lillian R. Lieber,1886年7月26日-1986年7月11日)從一個與眾不同卻又類似的視角重新審視了這個問題。

愛因斯坦是利伯獨特而又抽象的作品的鐵桿粉絲。這些書作無不是以輕鬆詼諧的方式討論嚴謹的數學話題,通過一貫的個人風格,架起了科學與哲學之間的橋樑。像愛因斯坦一樣,利伯在科學與人文的交叉點上大放異彩,頗有建樹。像埃德溫·艾博特(Edwin A·Abbott,英國作家、學者和神學家)與他的代表作《平原》一樣,她借用數學的概念,轉變了那些使我們的生活不值一提,使我們的世界缺少公正的假設 。像蘇斯博士(希奧多·蘇斯·蓋索,較常使用蘇斯博士為筆名。美國著名的作家及漫畫家,以兒童繪本最為出名)一樣,她通過平易近人的詩句和不吝情感的標點符號,引申出她對這世上最永恆不變的問題——人存在的意義——深刻、冷靜、嚴肅的思考與卓見。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

《人文價值與科學,藝術與數學》書中

休·利伯所作插畫

她強調自己在書中頻繁用到的換行和強調符號並不是即興創作,而是一種方便讀者快速閱讀並幫助他們理解複雜概念的做法。利伯堅持認為她那行雲流水般的作品並非詩歌,但這就像漢娜·阿倫特不承認其富有遠見且影響深遠的政治哲學是哲學,兩者如出一轍。

在她的百年人生中,利伯創作了十七部這樣獨特而又深刻的作品。書中那可愛的鋼筆插畫由她的先生,藝術家休·利伯創作。1961年的絕版佳作《人文價值與科學,藝術與數學》(這部著作探索的是人類思維的極限與無限的可能)也是其著作之一。它以史上最偉大的幾何學變革為開頭,以一個高效、繁榮的民主政治應有的基本理念和理想結尾。

利伯這樣描述這本書的願景:

這本書其實是關於

用數學的概念使

“生活”、“自由”,和“對幸福的追求”這些概念,

變得不那麼抽象。

我們首先應該明白

“思考”在數學中的意義,

以及它對於人類思維的

“能力”和“極限”

所產生的影響。

那麼我們就會發現這將會對

廣義的“思考”,

亦或是如“生活”、“自由”,以及“對幸福的追求”等等

帶來怎樣的影響!

因為我們必須承認

沒有這一方法的輔助,

我們對於這些事物的“思考”

常常會導致諸多困惑——

“許可”誤以為是“自由”

由此導致青少年犯罪;

“金錢”誤以為是“幸福”

由此導致成年人犯罪;

誤解“生活”本身,

將卑鄙的苟且與存在混為一談!

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

利伯認為數學發展的歷史中其實蘊含著一則寓言,講述的是我們作為一個物種的能力,以及我們可以如何運用這些能力來提升至最高層次的自我。在題為“自由與責任”的第一章中,她記敘了由非歐幾里得幾何學(非歐幾何,是多個幾何形式系統的統稱,與歐幾里得幾何的差別在於第五公設)的產生,引發了我們對自然和現實認知的革命。利伯將這一重大的歷史時刻稱為“1826年的偉大發現”。她寫到:

在數學的歷史上

最令人振奮的事物之一

就發生在19世紀初。

它的結果便是,

探索發現的閘門

敞然大開,

而且創意的源泉,

仍然不斷噴湧!

(……)

不僅如此,

這一令人振奮的現象

僅僅是源自

態度的轉變!

或許我不應該說“僅僅”,

因為這個詞的威力太大了——

只會顯示出

一個態度的轉變

就能如此至關重要

這樣我們就可以審視自己

對於許多事情和人的態度 ——

這也許才是最有意義的事情,

正如數學中證明地那般。

利伯指出,為了深入理解人們在態度上的革命性轉變,我們首先需要了解被這場革命取代的舊有“態度”,也就是之前的世界觀。只有再次溫習歐幾里得,我們才能更好地領會“1826年的偉大發現”的偉大之處:

歐幾里得……

首次將幾何學的若干已知事實

整理在一起

並構建了一個系統,

而不是將它們扔在一旁,

支離破碎

就像置身謎題!

(……)

歐幾里得的系統

被當做一個思考清晰的模型

沿用了好幾個世紀,

仍然並一直是

人類征途裡最偉大的寶藏之一。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

對於建造這樣一個“思考清晰的模型”的意義,利伯有一番抽絲剝繭的詮釋:這套網狀的邏輯使人們的學習更輕鬆,也能更快探索出新的東西。她以優雅而簡潔的筆觸,深入研究了這一系統的關鍵部分,並勾勒出了數學思維的基本架構:

在構建一個系統的過程中,

我們先要

用邏輯的方法

從幾條簡單的陳述入手,

推導出“結果”。

那麼我們就可以

在被它們驚到之前,

“確定這些結果”。

我們當然需要更多!

因此歐幾里得將這些

簡單的陳述

(數學中稱作“公設”)

描述為:

“任何兩點之間,

都可以畫出一條直線

連接這兩點”,

人們喜歡這樣的描述。

從這些陳述,

他推導出許多複雜的定理

(之前所說的“結果”)

比如說著名的

勾股定理,

以及許多許多其他的定理。

而且,我們都知道,

要想“證明”任何定理

我們必須要展示怎麼

從那些假設把它“推導”出來——

也就是說,

每一個在“證明”中出現的說法

都必須有公設,

或是已經被

那些公設

“證明”的定理

所支持。

當然,第一項定理

一定只能是

從公設中得來。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

物理學家加納·列文優美地講述了追求真理中邏輯的侷限,而在此半個世紀以前,利伯歸納了數學中的一個核心誤解:

我們該怎麼理解

那些公設本身呢?

它們又該如何被“證明”?

很顯然,它們

根本無法被證明——

因為在它們之前沒有任何東西

可以用來推導它們!

這一點也許會讓那些

認為在數學中

所有東西都可以被證明的人

大失所望!

但是你會發現

即使是在數學中

這也是不可能的,

每一個系統必然從

公設開始,

且這些公設是不能被證明的,

因為在它們之前沒有東西

可以用來推導它們。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

這個確定性的閉環適用於所有科學。即便很奇怪,一門學科越依賴於數學,我們越傾向於認定它為邏輯縝密的“硬科學”。然而思考模式越是傾向於數學思維,那麼它便越依賴於這種假設與抽象。當然,歐幾里得也很清楚這一點。因此他把自己未經證明的假設當做“不證自明的事實”,化解了這個內部矛盾。他的系統建立於用邏輯從這些公設推導出的一些結果或定理之上。然而在這些公設之中,有一個讓歐幾里得很苦惱,這便是著名的平行公設。

平行公設是說:

如果你要從A、B兩點之間畫一條直線,然後在這一條直線外取一點C,那麼你只能畫一條且僅一條通過C點的線,使之與通過A、B兩點的直線平行;而且,無論你怎樣在空間中延長這兩條平行線,它們永遠不會相交。

然而,歐幾里得並不能說服自己這是一條不證自明的事實。 後來的13個世紀裡, 數學家們也從未證明出這一點。十九世紀初,三位數學家——俄國的尼古拉·羅巴切夫斯基、匈牙利的鮑耶·亞諾什和德國的卡爾·弗里德里希·高斯,各自獨立得出了同樣的結論:平行公設的挑戰並不在於證明,如利伯所言,而是在於“我們對假設的定義所持有的態度”。也就是說,無論假設能否反映出自然實際的運轉,它都不應該被看做是自然中“不證自明的事實”,而是應該被當成人類對於自然如何運轉所作出的假定。

兩者間的差別聽起來很模糊,卻影響深遠。它讓數學家們得以發現,公設並非那麼神聖而不可撼動。相反,它們是能被替代、調整、推翻的。19世紀這群富有想象力的數學家完整保留了歐幾里得體系的其他部分,另一方面他們改變了平行公設,並假定可以通過點C畫出兩條線,這兩條線將平行於A和B之間的線——整個理論體系仍然是自洽的。這引發了一系列革命性的定理,包括三角形的頂角之和可以不為180度,比如在球面上大於180度,在凹面上則小於180度。

這在當時是一個非常激進且完全違背直覺的想法,還無法被直觀地理解,更難以在平面上作圖示意。不過,這並不僅僅是一個思想實驗,或是一個有趣、廢琢磨的腦力消遣。它促進了非歐幾里得幾何學的誕生,幫助我們理解扭曲的三維空間——我們現在知道它與平面幾何一樣真實,並存在於自然的每個角落:從馬蹄蓮的盛開,到珊瑚礁的成長,再到構成世間萬物過去或未來形態的時空結構。這個想法也因此打開了數學和物理領域中創意的閘門。事實上,如果不是非歐幾里得幾何,愛因斯坦本人將無法得出相對論,也無法將空間與時間結合為時空這一革命性的概念。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

在書中,利伯將這一概念上的飛躍全部歸功於思想上的成就——從數學到對自然、心理學、社會學以及人性的認知的飛躍。非歐幾里得幾何中拒絕接受任何不證自明的事實。通過反思這一態度所展現出的思想上的巨大變革,她對“終極真理”這一說法提出質疑。“終極真理”這種說法由法國哲學家克勞德·巴菲爾提出並廣為流傳,在克勞德看來,它表明的是人類意識的不同層面,由它築造了普適性、不容置疑的道德倫理價值。考慮到與眾不同的侷限、自由、謙遜、責任之間的關係如何塑造我們的價值觀,利伯寫道:

雖然數學僅僅是

一個人造的事業,

但是

人類為自己在這一領域

做得非常好,

在這裡一個人擁有

附有責任的自由——

以及

雖然他在這裡學到了謙遜

因為他知道自己

無法接觸到

“不證自明的事實”和

“終極真理”,

他也不是上帝——

然而他也知道

他也絕非是一隻老鼠,

而是一個人,

帶著他所有的

需要用來發展

精彩絕倫的數學領域的

生而為人的尊嚴

和創造力。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

利伯在另外一個概念上的聯想中,提出驅動著數學發展的尊嚴和創造力同樣是人類生活中至高追求的源動力,亦即阿爾貝·加繆所主張的我們的道德義務——對幸福的追求。

(這)當然意味著

謊言

決不能作為一個思想的工具!

這個論述難道不是

經常被人們當做是

一條道德原則嗎?

然而

少了它,我們就不能擁有

任何令人滿意的數學體系,

亦或是任何令人滿意的思維繫統——

甚至規則本身就是矛盾的,

都不能好好地玩一場遊戲!

同樣的道理,

我想說明一點,

那就是還有其它重要的道德觀念

存在於無形,

缺少了它們就不會有

任何數學或是科學。

那麼因此,在這個意義上,

科學並不違背道德——

在數學裡,

沒有人可以擁有一套

卓越非凡的假設,

而又能擺脫

元數學對於一致性的

要求!

利伯認為,“存在於無形”的道德觀念之一就是把生活本身當做一個基本的假設:

沒有生活,

就無從談起

生命——

花朵,

動物,

人類——

當然也無從談起

音樂,藝術,

科學,

數學。

利伯反駁了加繆認為自殺問題是“唯一真正嚴肅的哲學問題”的看法,並運用莎士比亞的典故,寫道:

我不是在說我們在這裡思考

生活是否值得繼續,

自殺的問題是否

會更具有“意義”,

是否生活僅僅是

“一團毫無意義的噪音和混亂”。

我只是在提議:

把生活當一個公設,

因此無需任何證明,

就像其他任何公設一樣。

但是我建議再修改一下,

讓它變得更具體:

假設1:

維持

人類的存在

是人類努力的目標。

這並不意味著

我們要

以殺戮動物取樂,

只有在需要支撐

人類生存的時候——

為了食物,

為了抵禦疾病,

活體實驗, 等等,

才會做出這樣的事情。

其實一匹馬,一隻狗或是其他動物,

它們的友好和忠誠,

其實可以幫助維持

一個人的精神和他對生活的信念。

這一假設我也能如下闡釋:

一些所謂的“運動”,

比如鬥牛,

或者一大群男人和女人

圍攻一隻小狐狸

(甚至利用馬和狗

來幫助他們!)——

實在是懦夫的行為,

如此違背體育精神,

無法理解這樣的活動怎麼能被稱為

一項“運動”。

怎样用数学来定义 “自由”“民主”?

阿倫·沃茨(Alan Watts,20世紀英國哲學家)主張“‘生命’與‘現實’非你能獨有,除非將之與眾生相和”

(Life and Reality are not things you can have for yourself unless you accord them to all others),作為回應,利伯從這一假設聯繫到了平等,人權和社會正義的道德基礎:

所有的這些都是通過解讀

假設1所被賦予的意義

所得到的:

對人類存在的接受。

當然每個人都會接受

這個必然存在,

在科學和數學中的,

背後隱藏的想法。

但是這不是全部。

因為,我認為這個假設也意味著

我們不能像希特勒做的一樣,

將它限制在某一部分人類中,

因為這將不可避免地導致戰爭,

而且現在世上有

核武器,

生化輻射武器,

這肯定會與假設1

相矛盾,

不是嗎?

利伯用第一個假設作為一個更宏大、自洽的“道德體系”的基礎,就像高斯、羅巴切夫斯基和鮑耶用對平行公設里程碑式的校正作為非歐幾里得幾何的基礎一樣。在霍安·迪迪恩發表她的經典和預見性的警告(警告人們不要把自以為是當做道德)的四年前,物理學家理查德·費曼提出“要找到永遠無法被證明是錯的答案,這是不可能的”的數十年前,利伯就以謙遜的口吻提出了這個道德範式:

在這裡所提出的“範式”

不是任何對於終局的掩飾(!),

記得想要有一套完美的假設,

即使是在數學中,

也是多麼的困難!

不過,一個人總要向前看,

總要嘗試,

總要做到自己的最好,

就像在數學和科學中一樣。

所以,讓我們繼續,懷著一顆謙卑的心,

試著創造

那些最多隻能被看做是

試探性的提議,

並堅信那個基本的理念

會被證實是有幫助的——

即在數學和科學中

有存在於無形的道德——

而且隨著時間推移,

可以被進一步

改進和增強。

借鑑了熱力學第二定律的結論(隱射了生物總是無可避免地退化至徹底毀滅),利伯為這個道德範式提出了另一個的假設,鞏固了繁榮的民主政治

的基礎:

假設2:

每一個人類個體

都必須與這“退化”鬥爭,

必須儘可能久地堅持生活,

必須成長和創造——

身體上和/或精神上。

為了這個我們需要

假設3:

我們必須都擁有去

成長和創造的自由,

當然是在不干擾

各自成長的前提下,

這也就意味著

假設4:

這項自由或自主

必定會攜著

責任而來,

因為缺少了責任它將會

導致個體和族群

之間的衝突,

而這顯然是

與其他假設相矛盾的。

所有的這些實現起來當然都非常困難,

需要我們

毫無抱怨地接受生活,

在不干擾其他人成長的前提下

茁壯成長,

簡而言之

它要求我們做到歌德所說的

“欣然順從”

但是這個怎麼做到呢?

很顯然我們需要增加一條

假設5:

對幸福的追求

是人類努力的目標。

如果沒有任何幸福,

或些許對於幸福的期望,

(即對幸福的“追求”)

“欣然地”接受

上述的方案

是不可能的。

而且這種接受會引導

我們冷靜、理智地進行我們的工作,

就如一位數學家

在——

接受他遇到的

即使是極大的困難,

也要決心去克服——

的前提下,

接受一個體系的假設

並接受他創意性的工作。

(……)

最後,我也堅信

這條公式的結果

將會是對卓越的宗教領袖和

卓越的人文學家

所達成的結論

的重新發現。

利伯從這個系統的概念中提煉出“一些定量和一些差異”,並用科學和數學的

概念為民主構造了一個合理的模型:

(1)定量:生活——需求

(a)充足併合適的食物;

(b)健康的身體;

(c)教育——心智上的和身體上的;

(d)沒有暴力!

(一個真正的科學家不會

帶著斧頭去他的實驗室

並用它毀壞他的器材,

而是會帶著他發育良好的大腦,

充足的耐心,

並用這些來創造

對於人類有益的新事物)。

這當然意味著和平的不可或缺,

或者更好的是:

(e)兩方之間的友誼

(f)謙遜——記住任何人

都不會得到“真理”

(g)而這一切肯定

都需要很多的

努力。

(2) 不阻礙兩方

以平等的權利

來學習研究這個世界

並達成平等的成功——

這顯然是

對民主的定義中

最簡單易懂的一個概念:

(a)不同的協作方式

(b)不同的膚色!

(c)不同的語言——

或其他溝通的方式。

此外請不要把這個方案當做是

一個無法實現的“烏托邦”,

因為它真的在

科學和數學中起到了作用,

就像我們所觀察到的,

也同樣適用於,

其他領域,

只要我們

為之付出全力,

而不是

陷身於戰爭中——

(無論是冷戰還是熱戰)

或準備戰爭——

仇恨他人,

等等,等等。

作家、博客寫手和文學評論家。

文章首圖/尾圖:rene magritte Edward Hopper

文章來源:brainpickings

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