1802年8月5日，尼爾斯·亨利克·阿貝爾出生於一個挪威窮困的牧師家庭，是家裡的次子。他的父親曾讀過大學，也表現出不凡的才能。但大概是因為不善利用自己的才華和不會和人打交道，只好在遠郊的一個小村做一個再普通不過的牧師。而除了自己和哥哥之外，阿貝爾還有5個弟弟妹妹，這更加劇了一家人的貧困，一家9口只好眼睜睜地苦熬，但一家人卻其樂融融。阿貝爾家在村裡窮得出了名，可以說貧困的陰影籠罩了阿貝爾一生，也是造成悲劇的重要原因之一。
貧困和機遇
由於請不起家庭教師，阿貝爾的父親不得不在工作之餘教他和他哥哥識字和算術。阿貝爾很小就顯示出數學才能，而父親對數學略知一二，所以就對他有意培養。兄弟倆非常理解父親的辛勞，因此學習得更加刻苦。懷揣著對美好未來的憧憬，阿貝爾忍受著現實生活中貧苦的煎熬，沉浸於數學之中。
13歲的時候，阿貝爾和哥哥一起被送到克里斯蒂安的一所天主教教會學校讀書。由於學校成績優異，阿貝爾獲得了一些獎學金，這對貧困的家庭來說無異於雪中送炭，而這也更加激發了阿貝爾對學習的熱情。他在學校是一位靦腆但又熱情善良的學生，非常樂意幫助其他同學，儘管因為貧窮而經常遭受嘲笑。但阿貝爾身體羸弱的哥哥終究還是承受不了學校那種重複而無聊的模式，加之老師的暴躁無常，最終因為神經衰弱而不得不退學回家休養了。
在阿貝爾15歲的時候，改變他一生的“伯樂”終於來了。當地教育部門迫於輿論壓力，不得不解僱了經常打罵學生的老師，之後引進了年輕的數學教師霍爾姆伯。這位見多識廣的老師十分欣賞阿貝爾所表現出的數學才華，給予了他悉心的指導並贈予阿貝爾自己曾經使用額大學數學課本。阿貝爾便一發不可收拾，徹底鑽進了數學之中，開始研讀高斯，拉格朗日等大師們的著作。
16歲的時候，在霍爾姆伯的鼓勵下，阿貝爾完成了一篇用根式解5次方程的論文，眾人一時都沒看出有什麼問題，於是就交給了當時丹麥的著名數學家德根審閱，竟也不知正確與否。不過德根表示，即使是錯誤的，阿貝爾也已經展現出了非凡的數學才華，於是他建議阿貝爾開始研究當時的熱門問題橢圓積分。阿貝爾聽從了這位數學教授的懇切的建議，轉入了對橢圓積分的研究。儘管不久之後阿貝爾自己舉例推翻了自己用根式解5次方程的結論，但他絲毫沒有洩氣，反而愈發奮進。
創舉與不幸
19世紀前，代數學的核心問題就是解方程，與其他突飛猛進的數學學科比起來顯得“力不從心”。嘗試用根式直接解高次方程接連失敗之後，數學家們逐漸將注意力集中到了證明高於4次的方程無根式解上。拉格朗日曾經寫了一篇長達200多頁的論文《關於方程代數解法的思考》，拉格朗日說：“雖然關於求解的不可能性什麼也沒有證明，不過可以肯定，用根式解高於四次的方程是不可能解的問題之一。”他甚至認為，這個難題是“向人類智慧的挑戰”。之後，魯菲尼在拉格朗日工作的基礎上提出了一個重要的結論：如果一個方程能用根式解出，那這個根式必定是方程根和單位根的有理函數。不過魯菲尼卻沒能給出證明。而阿貝爾卻不為所懼，決心做出成就來。
阿貝爾18歲的時候，更大的不幸如晴天霹靂般襲來，他的父親去世了，一下子養活一家人的重擔全都落在瘦弱的阿貝爾身上。哥哥已經精神失常，弟弟妹妹還年幼，唯一還能勞動的只剩阿貝爾一人了。此時的阿貝爾正和他的祖國一樣貧困和不幸。但霍爾姆伯老師絕不想看到一位才華橫溢的年輕人因貧困而中斷自己的學習，他找到教授們幫忙，並不富裕的教授們紛紛慷慨解囊，資助阿貝爾上大學。大學也特許阿貝爾的弟弟前來和他一起免費住宿。滿懷感恩之心的阿貝爾決心更加努力學習以便可以報答恩人們的資助。在此期間，他研究了一類積分方程的解法，開創了研究積分方程的先河。
哥本哈根、柏林和巴黎，以及更大的不幸
1822年，學業突飛猛進的阿貝爾已經大學畢業，才華橫溢的他在整個斯堪的納維亞半島已經聲名遠揚了。他的老師和同行們聯名要求政府出資讓阿貝爾出國訪問，然而拮据的政府也拿不出錢來。直到夏天，老天文學家拉斯梅辛才自己拿出一筆錢來，讓阿貝爾去丹麥哥本哈根考察。那位德根教授在哥本哈根熱情地歡迎阿貝爾的到來，與他興致勃勃地談天說地，也給了年輕的阿貝爾很多中肯的建議。這裡的挪威學生和老師也熱情地邀請阿貝爾前去參加各種活動，這是在這裡，一向靦腆的阿貝爾結識了自己的未婚妻克里斯廷。
回到挪威之後，阿貝爾開始全力思考高次方程的根式解的問題。由於阿貝爾並不瞭解魯菲尼的結論，所以他幾乎是從頭開始。他認為:“不要去尋求一個不知道是否存在的關係，而必須先問一問這樣的關係是不是可能的。”這樣，阿貝爾就為解決這個大難題找到一條明確的途徑：
“1．找出代數上可解的任意次數的一切方程。”
“2．決定一個已給的方程在代數上是不是可解。”
經過長時間的苦苦思索，阿貝爾在重新發現並嚴格證明了魯菲尼的結論之後，利用這個結論給出了一般的高於四次的方程沒有根式解的嚴格而完整的證明。而完成這一壯舉的阿貝爾這時才年僅22歲！而對於阿貝爾未盡的事業—如何判斷高次方程有無根式解，將會由另一位命途多舛的年輕人來徹底完成，我們將另行介紹。
然而命運給他的打擊並未停止。為了擴大影響，阿貝爾用法文寫出研究報告但只能自籌經費付印。可他實在太窮了，為了降低印刷費用，他不得不把論文的篇幅一壓再壓。最後印出來只剩薄薄6頁了。但是，這薄薄的幾片紙是阿貝爾對數學先驅者們的卓越工作的繼承和發展，凝結著他多年的心血，閃耀著他天才的光輝。1824年7月，他懷著滿腔希望把論文寄給國內外有名的數學家，包括當時數學界的領袖和權威高斯。他期望得到他們的認可和支持。然而兩個月過去了，寄出的論文像石沉大海一般毫無回應；有影響的刊物也毫不理會阿貝爾歷史性的突破。阿貝爾深深地失望了。
1825年8月，在阿貝爾的朋友們積極策劃下，挪威政府發給阿貝爾一份津貼，供他去德國和法國旅行和研究一年。 阿貝爾先到哥本哈根準備拜訪德根教授，但令阿貝爾心痛的是，教授不久前去世了。之後他又轉往德國，向東來到柏林。阿貝爾不願意前往拜訪曾經的偶像高斯，因為高傲的高斯使他失望。他甚至埋怨德國人瞧不起像他這樣的“小人物”。在柏林，不公的命運總算可憐了悲傷的阿貝爾一次，他結識了一位數學愛好者克萊爾，而克萊爾一下子就迷上了阿貝爾的數學才華和人格魅力，開始為宣傳阿貝爾的成果奔走呼號，克萊爾成了阿貝爾更大的“伯樂”。克萊爾在1826年創辦了一份之後極具影響力的刊物《純粹數學與應用數學雜誌》，而其頭三卷的內容幾乎全部來自阿貝爾，它刊登了阿貝爾的22篇數學論文。這不僅使得阿貝爾在歐洲名聲大噪，克萊爾和他的雜誌也出了名。克萊爾積極為阿貝爾尋求柏林大學的職位，然而克萊爾的熱情也抵擋不了阿貝爾對德國人冷漠的失望，於是他決定去三L（拉普拉斯，拉格朗日，勒讓德）的祖國—法國去碰碰運氣，希望有數學大家認可他的成果。
阿貝爾滿懷希望，於1826年7月來到巴黎。繁華的巴黎讓阿貝爾眼花繚亂，不過他無心觀賞，等待他的只有貧困和比德國人更冷漠的法國人。他住在一家貧苦的人家，這家人只提供給他一天兩餐很差的食物和一間極簡陋的居室，然而收取的房租卻高得驚人。阿貝爾將被後人認為是他一生中最偉大的作品《關於很廣一類超越函數的一個一般性質》自信滿滿地交給法國科學院的權威柯西審閱，而柯西對這位年輕人的論文根本不屑一顧，直接扔進了抽屜，後來竟不知所蹤，直到1952年才在意大利佛羅倫薩被找到。阿貝爾在這篇偉大的論文中考慮了橢圓積分的反問題—橢圓函數，並且仔細研究了橢圓函數的性質，這一下子就為橢圓積分的研究打開了大門。阿貝爾的這一成就被譽為19世紀最偉大的數學成就之一，也是他一生最輝煌的成就。法國數學大師埃爾米特認為，阿貝爾的思想足夠未來的數學家忙碌150年，而阿貝爾的著作也是魏爾斯特拉斯思考的源泉。
故鄉與死亡
在陰冷的巴黎，阿貝爾感到冷，透心刺骨的冷，無論穿多少衣服，他都感到冷。長期惡劣的生活條件使他感染了肺結核，這在當時是不治之症。身患重病的阿貝爾對這一切都已經徹徹底底的失望了，應當已經是絕望了。克萊爾的熱情挽留也沒能留住阿貝爾失落的心，他決定啟程回國了，回到母親和弟弟妹妹還有未婚妻身邊，陪他們一起度過生命最後的日子。
為了養家餬口，阿貝爾重操舊業，給各種各樣的學生補課。從小學生到準備考大學的中學畢業生，從外語到數學，他無所不教，但酬金卻少得可憐。過度的勞累使得阿貝爾的病情迅速惡化。克萊爾和同樣一直幫助他的漢斯廷教授想法設法使得他擺脫了沉重的勞累，為他在軍事學院謀得了一份待遇不錯的工作，阿貝爾這時才得以繼續研究橢圓函數，也只有數學才能使他暫時忘記眼前的折磨。伴隨著一篇篇成果的問世，阿貝爾的生命也漸漸衰弱了。正當阿貝爾沒錢刊印自己的論文時，克萊爾來信讓阿貝爾把所有的著作郵寄給自己，他要全部一頁不留的刊印！不僅如此，克萊爾還找到德國科學界的“大人物”洪堡，希望為阿貝爾在德國的大學謀得一席之地。然而一切都太晚了，都沒用了。
1829年4月6日，病魔終究還是奪走了阿貝爾的生命，年輕的阿貝爾對這個世界還有太多的留戀！
結語
三天之後，克萊爾來信，激動地告訴阿貝爾，德國教育部已經決定聘請他為柏林大學的教授，讓他不要顧及費用，使用最好的藥物治療，教育部都會替他解決。同時克萊爾也催促阿貝爾儘快動身，柏林的朋友們已經迫不及待地想見他了……第二年法國科學院授予阿貝爾科學院大獎和1500法郎獎金……都太遲了……
阿貝爾短暫的一生為數學貢獻了很多重要的成就，然而貧困和不幸卻和他如影隨形，儘管他樂觀，安之若素，也有知心朋友鼎力相助，然而這些都避免不了悲劇的發生。命運對阿貝爾實在太不公平，後人也只能哀婉嘆息！
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