「岂有此理·数学卷」1-1+1-1+1-1+1-1+1-1……的答案是多少?

格兰迪级数

1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…这个式子被称为格兰迪级数,是1703年意大利数学家格兰迪发表,后来荷兰数学家伯努利和瑞士数学家欧拉都研究过它。用小学的话说它就是一加一减一的循环,用中学的话说它是一个首项为1,公比为-1的等比数列的和。用大学层次的话说,它是一个发散级数。

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那么这个式子怎么得到答案呢?用小学知识:假如把他们两两用结合律的话得到的是0+0+0……=0,假如把他们除第一个数以外的两两结合的话得到的是1+0+0+0……=1,所以答案是0或1.

用中学知识,因为它的公比不为1或0,所以利用等比数列前n项和求和公式:

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其中Sn为和,a1为数列首项,q为公比,带入可得:Sn=0(n为偶数),Sn=1(n为奇数),也是两种答案。

来到大学或更高层次,这个被称为级数,而且是个发散级数,对于发散级数是没有确定的值的,但是还是有人用各种方法证明在特定条件下它等于0.5

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其中最容易理解的是:

设级数和为S

那么S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…

然后1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…)

那么1-S=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…=S

得到2S=1

则S=0.5

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还有就是上面提到的数学家欧拉(提出了完美的上帝公式的数学家(点击可查看):【岂有此理·数学卷】完美的欧拉公式!),也对格兰迪级数做了和,结果是1/2,同样还有切萨罗和也为1/2.但这两种方法是不容易理解的,这可能要大学里数学专业的学生了解起来才容易,其他人可能会理解,但相对吃力一些。

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好的,那么今天的结果在后面的一篇文章里也会用到,到时候还会出现的。

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