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1
xn-1在Z上的因式分解
注意到：
x2-1=(x-1)(x+1)
x3-1=(x-1)(x2+x+1)
x4-1=(x-1)(x+1)(x2+1)
x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)
...
x12-1=(x-1)(x+1)(x2+1)(x2-x+1)(x2 +x+1)(x4-x2+1)
...
x36-1=(x-1)(x+1)(x2+1)(x2-x+1)(x2+x+1)(x4-x2+1)(x6-x3+1)(x6+x3+1)(x12-x6+1)
...
似乎有這種可能,對於所有的正整數n，xn-1在Z上的因式分解成不可約多項式的乘積後各項係數都為1或者-1，不難驗證對n在1-20之間都是正確的。
據說有人曾經算到了x100-1，均沒有發現反例，終於放心大膽地猜想：
對於所有的正整數n，xn-1在Z上因式分解後各項係數都為1或者-1！
反例:
在 n = 105 時，x105-1的分解式為
出現了兩個-2
注:
在數學中，n次分圓多項式是指唯一的n次整係數不可約多項式Φn(x)，使得其為xn-1的因子，不為xk-1的因子，k為任意比n小的正整數。可以證明：
然後對xn-1有因式分解：
也就是最後因式分解得到的因子均為分圓多項式。
為什麼會出現n=105的反例呢？
來看一些分圓多項式
他們的係數都是-1，1，這種情況一直持續到n=104。
而n=105時：
所以我們分解x105-1時,因子中的Φ105(x)導致了反例。
關於怎麼計算n次分圓多項式的中xk係數,目前還沒有一目瞭然的公式，但是有定理：
若n的質因數分解中奇素數個數不超過2,那麼
Φn(x)的係數只能為1或-1(或0),從而
xn-1在Z上因式分解後各項係數都為1或者-1(或0),猜想成立
舉個例子，由於2016只有素因子2，3，7，x2016-1在上因式分解後各項係數都為1或者-1。可以驗證小於105的所有數定理條件均滿足。但是對於105=3×5×7，不好意思，定理條件失效了。（105有三個奇素數因子，我們在n=105有了反例）
2
Pólya conjecture
這是一個常用的經典超大數產生的反例。
考慮對自然數列的質因數分解
2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
11=11
12=2 x 2 x 3
13=13
14=2x7
15=3x5
16=2x2x2x2
17=17
……
在寫出的數種可以看到，4、6、9、10、14、16 這6個數
包含偶數個質因子，其餘11個數都含奇數個質因子。(不區分相同的質因子)可以感覺到包含偶數個質因子的數要明顯小一些。也就是對每一個給定不小於2的正整數2,3,……,n這n-1個數中含偶數個質因數的數的個數小於一半。
嚴格來說，n有質因數分解
，令
，f(n)取0或1
Pólya猜想:
對每一個給定不小於2的正整數2,3,……,n這n-1個數中含偶數個質因數的數的個數小於一半
即
這個猜想對1億之內的數都成立！
反例：
不幸的是……
來自Matrix67博客的一段話（加了補充）：
Pólya 猜想看上去非常合理——每個有偶數個質因子的數，必然都已經提前經歷過了“有奇數個質因子”這一步。不過，這個猜想卻一直未能得到一個嚴格的數學證明。
到了 1958 年，英國數學家 C. B. Haselgrove 發現， Pólya 猜想竟然是錯誤的。他證明了 Pólya 猜想存在反例，從而推翻了這個猜想。
不過，Haselgrove 僅僅是證明了反例的存在性，並沒有算出這個反例的具體值。
Haselgrove 估計，這個反例至少也是一個 361 位數（1.848×10361）。
1960 年，R. Sherman Lehman 給出了一個確鑿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例則是到了 1980 年才發現的：n = 906 150 257。
注：
這個反例充分說明，不能隨便假定某個猜想是正確的，哪怕它對於很小的數再怎麼正確。
3
數列遞推公式
數列 a(1) = 8，a(2) = 55，並且 a(n) 定義為最小的使得
的正整數
來求一求a(n)：
8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, 631637678776, 4353291555505, 30003193292641, 206784130187015, 1425170850320396, 9822378297435246,……
定義數列
bn=6kn-1+7bn-2-5bn-3-6bn-4
b1=8, b2=55, b3=379, b4=2612
猜想：
對n為正整數，a(n)=b(n)，這個對n<1000可以驗證均成立
反例：
當你在OEIS上搜索8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081時，
會蹦出兩個結果：
在n不超過11056時，a(n)=b(n)
但n=11057時，a(n)!=b(n)
注：
本來想給出兩個數列的值,但是發現太大了…
不過可以證明
只要注意到a(n)定義中的最小性即可，另外b(n)的遞推公式可由特徵方程給出。
之所以會出現不等是因為k太大時，a(k)太大，造成了
中分母過大。
4
Perrin素數
嘗試尋找到一個簡單而高效的素數生成公式一直是人們的理想之一，而素數之類的公式如果要能用簡單的數列定義該多好啊。
來看Perrin發現的一個數列
an=an-2+an-3， n>2
a0=3, a1=0, a2=2
我們來藉助OEIS看一下它的值
好像對於素數p，均有a(p)是p的倍數，這件事已經被成功證明了。
反過來,是否有n能整除 Perrin 數列的第 n 項 a(n)，n必須是一個素數。
由上圖知道對於不超過30的n其都是成立的
猜想：
a(n) 是n的倍數，當且僅當 n 是一個素數。
事實上，對於n<100000，猜想均成立。
1899 年 Perrin 本人曾經做過試驗，隨後 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做過搜索，均未發現任何反例。（我覺得大多是因為計算機技術當時不發達…）
反例：
直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才發現第一個反例 n = 271 441 ，它等於 521 × 521 ，卻也能整除 f(271 441) 。
事實上，我們有一堆不是素數的n使得a(n) 是n的倍數，如
求導不難知其有一個實根ρ,兩個共軛復根α、β，可以用二分法來查找零點，估計出1
韋達定理給出
α+β+ρ=1
αβ+αρ+βρ=0
αβρ=1
結合關於ρ的估計我們知道共軛復根α，β模均小於1。
設
A,B,C待定代入n=0,1,2，結合韋達定理有
當n充分大時,由於α，β模均小於1
這個公式可以讓我們估算大的an。事實上，由三次方程求根公式有
ρ≈1.324718
這是一個著名的常數，稱為Plastic number
於是a2015大概為
再注：
難道我們就沒有數列能生成素數麼？
不不不，考慮an=an-1+gcd(n, an-1), a1 =7, gcd表示最大公約數。
定義dn=an+1-an
那麼dn每一項均為素數。
5
Perrin素數
Fermat 大定理：
當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。
1995年已被懷爾斯證明成立，在這之前有無數關於費馬大定理的推廣猜想：
如Euler 曾經猜想：
對於k為不小於2的正整數，當 n > k 時，方程
都沒有正整數解。
k=2，即為費馬大定理，命題成立
對k=3，也搜索過沒有某個Xi <10000的正整數解
看起來命題可能成立，好像我們只需要找到更有力的數學工具像費馬大定理一樣去證明它就可以了。
反例：
1.當k=3時，就有反例
如n=4>3時
方程
就有一個正整數解。
如
1986 年由Noam Elkies 給出。（並且他非常厲害的給出了構造無限個這個方程的正整數解的方法）
2.另外最早的且最易接受的反例來自
k=4，n=5時
方程 
就有一個正整數解。
如
1966年由Lander 與 Parkin通過計算機(型號為CDC 6600，如下圖)給出：
（不得不說他們運氣也很不錯，能夠發現一組較小的反例解，如果反例太大當時的計算機肯定無法完成循環搜索）
注：
這些反例難道是別人隨意就想出來的麼？
數學上，尋找反例並不是僅僅的碰運氣，很多時候需要結合很多技巧，考慮如果反例出現，研究其需要滿足的必要條件，再去尋找到反例。
對於這個問題，擅長計算的Euler本身自己也做了研究
他發現了恆等式
但是這個不符合方程結構，給不出反例；
他也發現了
可惜這個是n=3，k=3的情況。
我們始終明白這麼一個事實，人的計算能力是有限的，所以Euler雖然能夠心算到千位數加減乘除，但是這個反例還是太大了，超過了手工計算的極限。
舉個例子，關於方程，如果一個個嘗試x,y,z,w，就算每一組數據平均只需要的10秒計算，要測試x,y,z,w上界到達100萬的情況，就至少需要10億億秒,也就是年!
如果1986年的計算機想要跑數據，也並不能夠做這麼大的四次循
環。
那麼Noam Elkies 是怎麼給出構造無窮多個反例的方法呢？
用到了代數曲線上的有理點，模函數等知識，做了一些分類討論，化歸成了簡單一些的情況
所以這個反例說明了即使尋找反例也要藉助較好的數學知識來分析,而不是瞎猜一通。
再注：
還有一些類似的美妙的恆等式可以用來給出某些類似的方程的解（來自wiki）：
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