圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

昨天我們分析了:《橢圓、雙曲線直徑的性質》,今天我們繼續看一個“孿生”問題(十分相像而已):圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理。

1.圓中的垂徑定理

如圖,設A、B是圓O的一條弦,P為AB的中點,則AB⊥OP,即:kAB·kOP=-1;

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

類比,在圓錐曲線中是否有相似的性質呢?

2.橢圓、雙曲線中的垂徑定理

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

思考:什麼情況下適合使用這個結論?

本結論聯繫的弦的斜率與弦的中點座標之間的關係,故涉及到兩者有關的問題時,適合使用該結論解題。

Ps:相信同學們對“點差法”一點都不陌生,但能將點差法的運算過程跳過,而抽象出該結論直接用於解題的同學會少很多!“學無止境”,想得比別人多一點、深一點,你就會更有優勢。

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

3.其它更多的結論

下面我們把弦AB往外平移到與圓O相切時,又有怎樣的性質呢?

童鞋們自主完成吧,我提供一個框架給大家吧:

圓中:

如圖,設直線l與圓O相切於點P,則l⊥OP,即:kl·kOP=-1;

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

為更好的理解以上性質,可以從多角度思考結論怎麼得來?比如我們知道當a=b時,橢圓就變成了圓,結論中的圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理,兩者就完美的無縫銜接了,這樣能否更好的記憶了呢?另外,這裡敘述時的細節很多,本文沒有交待的很仔細,比如弦不過原點,過原點時OP重合了,等等……

最後,我們的重點還是在於如何應用。請童鞋們自主思考:什麼樣的情況下,會利用得上這些結論幫助熟練、快速的解題呢?

4.應用舉例,高考真題一例

一般解答過程:

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

利用橢圓的垂徑定理的快速解答:

圓、橢圓、雙曲線中的垂徑定理

明天打算把這兩篇文的相關考題,整理一部分出來,供大家練習,請關注。

“一篇小短文,一個小中心;立足學情,創作‘1+1’;寫細節,寫學法,寫思路,偶爾也寫小專題……,未必要寫高深難,寫出的恰是你需要的、有幫助的,就是最好的。”

有問題,歡迎童鞋們來諮詢;

有素材,請同仁們來信交流。


分享到:


相關文章: